1、第二讲空间位置关系、空间角与空间距离微专题1空间位置关系常考常用结论1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.保 分 题1.2022山东烟台三模若a和分别为空间中的直线和平面，则“a”是“a垂直内无数条直线”的()A充分不必要条件B必要
2、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件22022北京东城三模如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线BE相交的是()A直线A1FB直线AD1C直线C1D1D直线AA132022福建福州三模在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB2，E是BC的中点，F是AB的中点，则()AAECF，AC与EF是共面直线BAECF，AC与EF是共面直线CAECF，AC与EF是异面直线DAECF，AC与EF是异面直线提 分 题例1 (1)2022山东淄博一模(多选)若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则
3、下列说法正确的有()A若，m，则mB若，m，则mC若mn，m，则nD若mn，m，则n(2)2022全国乙卷在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A平面B1EF平面BDD1B平面B1EF平面A1BDC平面B1EF平面A1ACD平面B1EF平面A1C1D听课笔记：【技法领悟】1根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；2必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断巩固训练11.2022湖南衡阳二模设m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若m，n，m
4、n，则B若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，m，n，则22022广东广州三模一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是()A直线AE与直线BF异面B直线AE与直线DF异面C直线EF平面PADD直线EF平面ABCD微专题2空间角与距离常考常用结论1直线与直线的夹角若n1，n2分别为直线l1，l2的方向向量，为直线l1，l2的夹角，则cos |cos n1，n2|n1n2n1n2.2直线与平面的夹角设n1是直线l的方向向量，n2是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则sin |cos n1，n2|n1n2n1n2.
5、3平面与平面的夹角若n1，n2分别为平面，的法向量，为平面，的夹角，则cos |cos n1，n2|n1n2n1n2.4点到直线的距离：已知A，B是直线l上任意两点， P是l外一点，PQl，则点P到直线l的距离为PQ AP2-AQ2AP2-APABAB2.5求点到平面的距离已知平面的法向量为n , A是平面内的任一点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则点P到平面的距离为|PQ|APnn.保 分 题1.2022辽宁辽阳二模在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，且PAAB，AD3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为()A13B3C1010D10
6、22022广东茂名二模正三棱锥S - ABC的底面边长为4，侧棱长为23，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为_.3已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是_提 分 题例2 (1)若正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底边长为2，B1AB3，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为()A5B25C2305D2303(2)2022全国甲卷在长方体ABCD - A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则()AAB2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30CACCB1DB
7、1D与平面BB1C1C所成的角为45听课笔记：【技法领悟】1用几何法求空间角时，关键要找出空间角，再在三角形中求解2用向量法求空间角和空间距离时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系巩固训练21.在四棱锥P - ABCD中，PA平面ABCD，ABCD是矩形，且AB3，AD4，PA435，则平面ABD与平面PBD的夹角为()A30 B45C60 D752如图，在长方体中，ADAA12，AB3，若E为AB中点，则点B1到平面D1EC的距离为_.第二讲空间位置关系、空间角与空间距离微专题1空间位置关系保分题1解析：若a，则a垂直内所有直线，因此，命题“若a，则a垂直内无数条直线”正确，a垂直内无数
8、条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面内，即不能推出a，所以“a”是“a垂直内无数条直线”的充分不必要条件答案：A2解析：连接EF，CD1，A1B，则EFCD1，EF12CD1，由A1D1BC，A1D1BC，可得四边形A1D1CB为平行四边形，A1BCD1，A1BCD1，所以EFA1B，EF12A1B，即四边形EFA1B为梯形，故直线A1F与直线BE相交，直线AD1与直线BE为异面直线，直线C1D1与直线BE为异面直线，直线AA1与直线BE为异面直线答案：A3解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是BC的中点，F是AB的中点，所以AC平面ABC，EF
9、与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线；又CF12+225，AE22+226，所以AECF.答案：D提分题例1解析：(1)对于A，由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行而，m，故m，A正确；对于B，m，此时m有可能在平面内，故不能得到m，B错误；对于C，由于mn，则n可经平移到与m重合的位置而平移不改变直线与平面是否垂直，m，故n，C正确；对于D，当m，m，过m上一点作直线n，此时mn，不能得到n，D错误综上，AC正确(2)如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，易知BDAC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，所以BDEF.由正方
10、体的性质，知DD1平面ABCD.又EF平面ABCD，所以DD1EF.因为BDDD1D，所以EF平面BDD1.因为EF平面B1EF，所以平面B1EF平面BDD1，A正确假设平面B1EF平面A1BD.因为平面B1EF平面BDD1，且平面A1BD平面BDD1BD，所以BD平面B1EF.在正方体ABCDA1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误连接AB1，B1C，易证平面ACB1平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误故选A.答案：(1)AC(2)
11、A巩固训练11解析：对于A选项，设直线m、n的方向向量分别为u、v，因为m，n，则平面的一个法向量为u，平面的一个法向量为v，因为mn，则uv，故，A对；对于B选项，若m，n，则m、n平行或异面，B错；对于C选项，若m，n，则m、n的位置关系不确定，C错；对于D选项，若m，n，m，n，则、平行或相交，D错答案：A2.解析：由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE，EF，BF，DF，易得EFBC，BCAD，则EFAD，故EF，AD共面，则AE，DF共面，故B错误；又F平面AEFD，B平面AEFD，F不在直线AE上，则直线AE与直线BF异面，A正确；由EFAD，EF平面PAD，
12、AD平面PAD，则直线EF平面PAD，C正确；EF平面ABCD，AD平面ABCD，则直线EF平面ABCD，D正确答案：B微专题2空间角与距离保分题1解析：因为PA底面ABCD，AC底面ABCD，所以PAAC，则PC与底面ABCD所成角为PCA.设AB1，则PA1，AD3，AC10.所以tan PCAPAAC1010.答案：C2解析：取BC的中点E，连接SE，DE，则SDE(或其补角)为异面直线SD与AB所成的角，由题意知SESD12-422，DE2，所以cos SDE8+4-8222224.答案：243解析：建立如图所示空间直角坐标系，则BA(0，2，0)，BE(0，1，2)cos BABEB
13、ABE22555.sin 1-cos2255.故点A到直线BE的距离d|AB|sin2255455.答案：455提分题例2解析：(1)由棱柱的几何性质可知，A1C1AC，又A1C1平面EAC，AC平面EAC，则A1C1平面EAC，所以点A1到平面EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，因为正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底边长为2，B1AB3，则AA123，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，A1(0，0，23)，C(2，2，0)，E(0，2，3)，所以AE(0，2，3)，AC2，2，0，AA1(0，0，23)，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)
14、，则nAE=0nAC=0，即2y+3z=02x+2y=0，令x3，则y3，z2，故n(3，3，2)，所以点A1到平面EAC的距离dAA1nn433+3+42305，故A1C1到平面EAC的距离为2305.(2)连接BD，则B1DB，DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以B1DBDB1A30.所以BB112DB1，BD32DB1，AD12DB1.设BB1a，则DB12a，ADBCa，BD3a，所以ABBD2-AD22a，ACBD3a，CB1BB12+BC22a.所以AB2AD，ACCB1 ，因此A，C项错误易知DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角，且为锐角因为D
15、C2a，DB12a，CB12a，所以DC2+CB12DB12，所以DCCB1.在RtDCB1中，sin DB1CDCDB122，所以DB1C45，即B1D与平面BB1C1C所成的角为45，因此D项正确因为AD平面ABB1A1，AD平面AB1C1D，所以平面AB1C1D平面ABB1A1，所以B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角在RtABB1中，AB2a，BB1a，所以tan B1ABBB1AB2233，所以B1AB30，即AB与平面AB1C1D所成的角不是30，因此B项错误故选D.答案：(1)C(2)D巩固训练21解析：因为PA平面ABCD，ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，故以
16、A为坐标原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，又AB3，AD4，PA435，所以A(0，0，0)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，435)，因为PA平面ABCD，所以平面ABD的一个法向量为n(0，0，1)，而PB(3，0，435)，BD(3，4，0)，设平面PBD的法向量为m(x，y，z)，则mPB=3x-435z=0mBD=-3x+4y=0，取x4，则平面PBD的法向量m(4，3，53)，cos n，mnmnm04+03+153142+32+53232，所以n，m30，由图可知平面ABD与平面PBD的夹角为锐角，所以平面ABD与平面PBD的夹角为30.答案：A2.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB1，由题意得C(0，3，0)，E(2，32，0)，D1(0，0，2)，B1(2，3，2)，CE2，-32，0，CD10，-3，2，CB1(2，0，2)，设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则CEn=0CD1n=0，即2x-32y=0-3y+2z=0，令z6，得n(3，4，6)，点B1到平面D1EC的距离dn CB1n186161.答案：186161
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