1、第一讲空间几何体的表面积与体积微专题1空间几何体的表面积和体积常考常用结论1柱体、锥体、台体、球的表面积公式：圆柱的表面积S2r(rl)；圆锥的表面积 Sr(rl)；圆台的表面积S(r2r2rlrl)；球的表面积S4R2.2柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体13Sh(S为底面面积，h为高)；V球43R3.保 分 题1.2022山东枣庄三模若圆锥的母线长为2，侧面积为2，则其体积为()A6 B3C63 D3322022河北保定一模圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为()A11 B12C21 D2332022湖北武汉二模如图，在棱长
2、为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为()A223B43C423D83提 分 题例1 (1)2022河北张家口三模如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC()A13B12C2-32D3-12(2)2022湖南雅礼中学二模某圆锥高为1，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A2 B3C2D1听课笔记：【技法领悟】1求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易
3、求，底面放在已知几何体的某一面上2求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解巩固训练11.2022山东菏泽一模如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，ABAC2，ABAC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为()A3 B4C42D622022福建福州三模已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且ABCD，O1，O分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为()A
4、9 B12C16 D18微专题2与球有关的切、接问题常考常用结论1球的表面积S4R2，体积V43R3.2长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径3n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r3VS.4直三棱柱的外接球半径：Rr2+L22，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径RL2.5正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R64a(a为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r612a，因此Rr31.保 分 题1.2022广东深圳二模已知一个球的表面积在数值上是它的体积的
5、3倍，则这个球的半径是()A2 B2C3 D32已知正四棱锥P ABCD中，AB6，PA23，则该棱锥外接球的体积为()A4 B323C16 D16332022天津红桥一模一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的体积为_提 分 题例2 (1)2022江苏苏州三模九章算术卷第五商功中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体
6、积为()立方尺A413B41C41416D341(2)2022山东泰安三模如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC的外接球表面积的最大值为()A814 B24C24316 D86听课笔记：【技法领悟】1确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系2求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解3补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体巩固训练2
7、1.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8，则该圆柱的体积为()A22 B2C2 D2222022广东潮州二模已知ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A3B332C934D32专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积微专题1空间几何体的表面积和体积保分题1解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则r22，可得r1，则h22-r23，因此，该圆锥的体积为V13r2h1312333.答案：D2解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积2r2r4r2 ，球的表面积
8、为4r2 ，其比例为11.答案：A3解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为21322143.答案：B提分题例1解析：(1)由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1，ED，则A1B1ED，EDAB，显然CDE - C1A1B1是三棱台，设ABC的面积为1，CDE的面积为S，三棱柱的高为h，121h13h(1SS)，解得S3-12，由CDECAB，可得CDACS13-12.(2)如图，截面为PAB，设C为AB中点，设OCx，x0，3)，则AB23-x2，PCx2+1，则截面面积S1223-x2x2+1-x
9、2-12+4，则当x21时，截面面积取得最大值为2.答案：(1)D(2)A巩固训练11解析：在图1中V水122224，在图2中，V水VABC - A1B1C1- VC - A1B1C11222h131222h43h，43h4，h3.答案：A2解析：分别过A，B作圆柱的母线AE，BF，连接CE，DE，CF，DF，设圆柱的底面半径为r，则三棱锥A - BCD的体积为两个全等四棱锥C - ABFE减去两个全等三棱锥A - CDE，即213r2rr213r122rr23r318，则r3，圆柱的侧面积为2rr18答案：D微专题2与球有关的切、接问题保分题1解析：设球的半径为R，则根据球的表面积公式和体积
10、公式，可得，4R243R33，化简得R3.答案：D2解析：正方形ABCD的对角线长6+623，正四棱锥的高为 232-23223，设外接球的半径为R，则(3R)2(232)2R2R2，所以外接球的体积为4323323.答案：B3解析：长方体外接球的直径为12+22+3223，所以外接球半径为3，所以球的体积为43(3)343.答案：43提分题例2解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，则R2x2522(x1)2(52)2，解得x2，R2414，该球体的体积V43412341416.(2)因为ABC为等腰直角三角形，ACBC2，所以ABC的外接圆
11、的圆心为AB的中点O1, 且AO12，连接O1与A1B1的中点E，则O1EAA1，所以O1E平面ABC，设球的球心为O，由球的截面性质可得O在O1E上，设OO1x，DEt(0t2)，半径为R，因为OAODR，所以2+x24-x2+t2，所以t28x14，又0t2，所以74x2，因为R22x2，所以8116R26，所以三棱锥DABC的外接球表面积的最大值为24.答案：(1)C(2)B巩固训练21解析：设外接球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h2r，由球O的表面积S4R28，得R2，又R h22+r22r，得r1，所以圆柱的体积Vr22r2r32.答案：C2解析：球O的半径为R，则4R216，解得：R2，由已知可得：SABC3432934，其中AE23AD3，球心O到平面ABC的距离为R2-321，故三棱锥P - ABC的高的最大值为3，体积最大值为13SABC3934.答案：C
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