1、第4讲 平面向量及其应用1考题展望高考对平面向量的考查主要体现在：第一，考查平面向量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算，主要以选择题、填空题的形式考查，向量与平面几何相结合是命题的一个亮点；第二，考查平面向量与其他知识的综合应用，主要以解答题的形式考查平面向量具有代数与几何形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，平面向量与三角函数、解析几何的综合是近几年高考的热点，要予以足够的重视2高考真题考题1(2012 浙江)设 a，b 是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则 abB若 ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得 baD若存在实数，使得 ba，则
2、|ab|a|b|【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的，|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab.如选项A：|ab|a|b|时，a，b为异向的共线向量；选项B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ba，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立【命题立意】本题主要考查向量的平行与垂直的条件，考查转化化归思想和推理能力考题2(2012 湖南)在ABC 中，AB2，AC3，AB BC 1，则 BC()A.3B.7C2 2 D.23【解析】选 A.由右图知AB BC|AB|BC|cos(B)2|BC|(cosB)1.cosB12BC.又由余
3、弦定理知 cosBAB2BC2AC22ABBC，解得 BC 3.【点评】本小题主要考查平面向量的数量积、余弦定理等知识考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法考题3(2012 江苏)在ABC 中，已知AB AC 3BA BC.(1)求证：tanB3tanA；(2)若 cosC 55，求 A 的值【解析】(1)AB AC 3BA BC，ABACcosA3BABCcosB，即 ACcosA3BCcosB.由正弦定理，得 ACsinB BCsinA，sinBcosA3sinAcosB.又0AB0，cosB0，sinBcosB3sinAcosA即 tanB3tanA.(2)cosC
4、55，0C0，tanA1.A4.【点评】本小题主要考查平面向量的数量积、正弦定理、同角关系式、正切的两角和公式及三角恒等变换能力，考查运算求解能力和转化化归思想由(1)得4tanA13tan2A2，解得 tanA1，tanA13.cosA0，tanA1.A4.【点评】本小题主要考查平面向量的数量积、正弦定理、同角关系式、正切的两角和公式及三角恒等变换能力，考查运算求解能力和转化化归思想1平面向量(1)向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；(2)向量减法的法则：三角形法则；(3)实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|a|；(4)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，
5、使得ba，即baba(a0)；(5)平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(6)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则a和b的数量积ab|a|b|cos.(7)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)；a(x1，y1)；abx1x2y1y2；|a|x12y12；abab0 x1x2y1y20；abx1y2x2y10.2平面向量的易错点(1)向 量 的 数 量 积 运 算 不 满 足 结 合 律：a(bc
6、)(ab)c不正确(2)非 零 向 量 的 平 行 性 才 具 有 传 递 性：ab，bcac不正确(3)向量不满足消去律：abacbc不正确(4)平面向量的基本定理的前提是e1，e2不共线(5)两 个 向 量 的 夹 角 不 一 定 为 三 角 形 的 内角例如ABC 中，AB，BC 的夹角不是三角形的内角 B.(6)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于0，所以应表示为 x1y2x2y10.1平面向量的概念与线性运算例1(1)如图，A、B 分别是射线 OM、ON 上的两点，给出下列向量OA 2OB 12OA 13
7、OB34OA 13OB 34OA 15OB.这三个向量中以 O 为起点，终点在阴影区域内的是()ABCDB【解析】由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得终点在阴影部分的是，故选B.(2)已知点 P 是ABC 所在平面内的一点，且3PA5PB 2PC 0，设ABC 的面积为 S，则PAC 的面积为()A.34SB.23SC.12SD.25SC【解析】由于 3PA5PB2PC0 则 3(PAPB)2(PBPC)即 3PAPB22PBPC2.如图，设 AB、BC 的中点分别为 M、N.则PM 12(PAPB)，PN 12(PBPC)，即 3PM 2PN，则点 P 在中位线 MN 上 所以PAC 的
8、面积是ABC 的面积的一半，故选 C.【点评】由题设情境，通过数形结合，恰当地运用平行四边形法则、三角形法则和实数与向量乘积的几何意义分析、推导，问题便可解答即 3PM 2PN，则点 P 在中位线 MN 上 所以PAC 的面积是ABC 的面积的一半，故选 C.【点评】由题设情境，通过数形结合，恰当地运用平行四边形法则、三角形法则和实数与向量乘积的几何意义分析、推导，问题便可解答2平面向量的基本定理和坐标运算例2(1)已知向量 a(1，1)，b(1，2)，向量 c 满足(cb)a，(ca)b，则 c()A(2，1)B(1，0)C(32，12)D(0，1)A【解析】设c(x，y)，由题设cb(x1
9、，y2)ca(x1，y1)由(cb)a得(x1)1(y2)(1)0即xy10又(ca)b，得(x1)2(y1)10即2xy30解得x2，y1，故选A.(2)如图，在ABC 中，AN 13NC，P 是 BN 上一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为311【解析】由三点 B、P、N 共线，得 APnAB(1n)AN.又AN 13NC 因此AN 14AC，从而APnAB 14(1n)AC mAB 211AC.所以14(1n)211 故 mn 311.(3)如图，在等腰三角形 ABC 中，点 O 是斜边 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB、AC 于不同两点 M、N，若AB mAM
10、，AC nAN(m0，n0)，则 mn 的最大值为1【解析】以 A 为原点，AC、AB 所在直线为 x轴、y 轴建立直角坐标系，设 AB2，则 B(0，2)，C(2，0)，O(1，1)AB mAM，AC nAN.M(0，2m)，N(2n，0)从而直线 MN 的方程为nx2 my2 1.又 MN 过点(1，1)m2n21 即 mn2.mn（mn）241.当 mn1 时取等号 故 mn 的最大值为 1.【点评】在处理三点共线有关问题中常用结论：若A、B、C三点共线，(其中O为平面内一点)，则1.反之也成立 3平面向量的数量积例3(1)已知非零向量 a、b 满足|ab|ab|2 33|a|，则向量
11、ab 与 ab 的夹角为 3【解析】由|ab|ab|及平行四边形法则可得 ab0.由|ab|2 33|a|两边平方得 b213a2.所以 cosab，ab（ab）（ab）|ab|ab|a2b243a2 12，又ab，ab0，故ab，ab3.(2)如图，在ABC 中，BAC120，ABAC2，D、E 为 BC边上的点，且AD BC 0，CE 2EB，则AD AE【解析】AD BC 0 AD BC 即 ADBC 又 ABAC 1(2)如图，在ABC 中，BAC120，ABAC2，D、E 为 BC边上的点，且AD BC 0，CE 2EB，则AD AE【解析】AD BC 0 AD BC 即 ADBC
12、又 ABAC AD 12(AB AC)，CB AB AC，又CE 2EB，AE AC 23CB 23AB 13AC 则AD AE 12(AB AC)13(2AB AC)16(2AB 23AB AC AC 2)16(222322cos12022)1.【点评】平面向量的数量积既有几何运算法则，又有坐标运算，因此涉及与平面几何有关的问题，应充分将几何运算法则与几何图形和实数与平面向量乘法的几何意义恰当结合进行运算求解4平面向量综合的问题例4(1)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，ABC的三个顶点均在抛物线上，若FAFB FC 0，则|FA|FB|FC|【解析】由题设 F(1，0)是ABC 的重心，
13、则xAxBxC3.故|FA|FB|FC|xA1xB1xC16.64平面向量综合的问题例4(1)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，ABC的三个顶点均在抛物线上，若FAFB FC 0，则|FA|FB|FC|【解析】由题设 F(1，0)是ABC 的重心，则xAxBxC3.故|FA|FB|FC|xA1xB1xC16.(2)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 120.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动若OC xOA yOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是2【解析】设AOC OC OA xOA OA yOB OA，OC OB xOA OB yOB OB，即
14、cosx12ycos（120）12xy xy2coscos(120)cos3sin2sin(6)2.例5在ABC 中，内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，AB AC 8，BAC，a4.(1)求 bc 的最大值和 的取值范围；(2)求函数 f()2 3sin2(4)2cos2 3的最大值【解析】(1)AB AC 8，BAC bccos8.又 a4，由余弦定理得 42b2c22bccos.得 b2c232.故 bcb2c2216.即当 bc 时，bc 取最大值 16.而 bc8cos，8cos16，cos12.又 0.故 03.(2)f()2 3sin2(4)2cos2 3 31cos(
15、2 2)1cos2 3 3sin2cos21 2sin(26)1，03 6 26 56 12sin(26)1 故当 6 时，fmax()3.当 3 时，fmin()2.【点评】涉及由三角形的边构建的向量数量积问题，一定要数形结合分析向量的夹角与三角形内角的关系，若两向量始点相同或终点相同，则向量的夹角与三角形的相关内角相等，若两向量首末相接，则向量的夹角与三角形的相关内角为互补关系12sin(26)1 故当 6 时，fmax()3.当 3 时，fmin()2.【点评】涉及由三角形的边构建的向量数量积问题，一定要数形结合分析向量的夹角与三角形内角的关系，若两向量始点相同或终点相同，则向量的夹角与
16、三角形的相关内角相等，若两向量首末相接，则向量的夹角与三角形的相关内角为互补关系备选题例6椭圆有两顶点 A(1，0)，B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.(1)当|CD|32 2时，求直线 l 的方程；(2)当点 P 异于 A、B 两点时，求证：OP OQ 为定值【解析】(1)因为椭圆焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 y2a2x2b21(ab0)由已知得 b1，c1，所以 a 2，椭圆方程为y22x21.直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符 设直线 l 的方程为 ykx1，将其代入椭圆方程，化
17、简，得(k22)x22kx10.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x2 2kk22，x1x21k22，|CD|k21（x1x2）24x1x22 2（k21）k22.由已知得2 2（k21）k2232 2，解得 k 2 所以直线 l 的方程为 y 2x1 或 y 2x1.(2)证明：直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符 设直线 l 的方程为 ykx1(k0 且 k1)，所以 P 点的坐标为(1k，0)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知 x1x2 2kk22，x1x21k22.直线 AC 的方程为 y y1x11(x1)，直线 BD 的方程为 y y2x21(x1)，
18、将两直线方程联立，消去 y 得x1x1y2（x11）y1（x21）.因为1x1，x20，则 D(a2，b2)，P(a4，b4)，所以|PC|2(a4)2(b4)2a216b216，D4在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则|PA|2|PB|2|PC|2()A2 B4C5 D10【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图 设 A(a，0)，B(0，b)，a，b0，则 D(a2，b2)，P(a4，b4)，所以|PC|2(a4)2(b4)2a216b216，|PB|2(a4)2(b4b)2a2169b216，|PA|2(a4a)2(b4)29a216
19、 b216，所以|PA|2|PB|2a2169b216 9a216 b21610(a216b216)10|PC|2，所以|PA|2|PB|2|PC|210，选 D.5已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0 x 2，y2，x 2y给定，若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为(2，1)，则 zOM OA 的最大值为()A4 2B3 2C4 D3C【解 析】由 线 性 约 束 条 件0 x 2，y2，x 2y画出可行域如图所示，目标函数 zOM OA 2xy，将其化为 y 2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入 z 2xy
20、 得 z 的最大值为 4.6在平行四边形 ABCD 中，A3，边 AB、AD的长分别为 2、1，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AM AN 的取值范围是2，5【解析】设|BM|BC|CN|CD|(01)，则BM BC AD，DN(1)DC(1)AB，则AM AN(AB BM)(AD DN)(AB AD)AD(1)AB AB AD(1)AB 2AD 2(1)AD AB，又AB AD 21cos3 1，AB 24，AD 21，AM AN 225(1)26，01，2AM AN 5，即AM AN 的取值范围是2，57如图，OMAB，点 P 在由射线OM、线
21、段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动且OP xOA yOB，则 x 的取值范围是，当 x12时，y 的取值范围是(，0)(12，32)【解析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB和 OA 的反向延长线为两邻边，x 的取值范围是(，0)；又当 x12时，OP 12OA yOB，OA 12OA.当 P 在OM 上时，有OP OA OB，OB 12OB.当 P 在BC 上时，OB 32OB，y(12，32)8已知在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(1，3)，O 为原点，且OM OA OB(其中 1，均为实数)，若 N(1，0)，则|
22、MN|的最小值是 3 22 【解析】设 M(x，y)，则(x，y)(2，3)，得 x2，y3，前式减去后式得xy2()，即 xy20.即点 M 在直线 xy20 上，|MN|的最小值即点 N 到该直线的距离 d 323 22.9已知点 A、B、C 的坐标分别为(4，0)，(0，4)，(3cos，3sin)(1)若(，0)，且|AC|BC|，求 的大小；(2)若AC BC，求2sin2sin21tan的值【解析】(1)由已知得（3cos4）29sin2 9cos2（3sin4）2，则 sincos，因为(，0)，所以 34.9已知点 A、B、C 的坐标分别为(4，0)，(0，4)，(3cos，3
23、sin)(1)若(，0)，且|AC|BC|，求 的大小；(2)若AC BC，求2sin2sin21tan的值【解析】(1)由已知得（3cos4）29sin2 9cos2（3sin4）2，则 sincos，因为(，0)，所以 34.(2)由(3cos4)3cos3sin(3sin4)0得 sincos34，平方得 sin2 716，则2sin2sin21tan2sin2cos2sincos2sincos 2sincos sin2 716.10已知向量 a(sinx，1)，b(cosx，12)(1)当 ab 时，求|ab|的值；(2)求函数 f(x)a(ba)的最小正周期；(3)求使(ab)2(m1)ab10 恒成立的 m 的取值范围【解析】(1)由已知得 ab0|ab|（ab）2 a22abb2 a2b2 sin2x1cos2x1432.(2)f(x)aba2 sinxcosx12sin2x1 12sin2x1cos2x232 22 sin(2x4)2 f(x)的最小正周期为.(3)absinxcosx12 12sin2x12，令12sin2x12u，1u0，(m1)uu21 若 u0 则 mR.若1uu1u，m1(u1u)max 当 u1 时，(u1u)max2，m3 综合得 m 的取值范围为(3，)