1、南阳一中2017年春期高二5月第二次考试高二数学试卷（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A. - B. -i C. - D. -i【答案】C考点：复数的运算与复数的概念2. 宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。”上述推理用的是A. 类比推理 B. 演绎推理 C. 归纳推理 D. 以上都不对【答案】C【解析】
2、今天研究一件，明天又研究一件，将事物的规律一个一个找出来，归纳推理出“贯通处”.故为归纳推理.3. 若复数满足方程，则在复平面上表示的图形是A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线【答案】B【解析】原方程可化为，其几何意义表示的坐标和之间的距离为，满足圆的定义，故表示的图形是圆.4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A. 假设，都是偶数 B. 假设，都不是偶数C. 假设，至少有一个是偶数 D. 假设，至多有两个是偶数【答案】B【解析】“至少有一个”的否定是“都不是”，故选.5. 为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检
3、验法算得的观测值为6（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是A. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”B. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”C. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”【答案】A【解析】由于，故在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”.6. 图1是某市2015年高考学生身高条形图统计图，从左到右的各小长方形表示学生人数，依次记为 ，（如表示身高（单位：cm）在150,155）内的人数），图2是统计图1中身高在一定范围内的学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180cm（含160c
4、m,不含180cm）的学生人数，那么流程图中的判断框内应填写的条件是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：身高在160180cm（含160cm,不含180cm）的学生人数为，所以条件应填写，故选C考点：频率分布直方图与程序框图7. 有一段“三段论”，推理是这样的：函数在定义域内可以求导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处满足，所以是函数的极值点，以上推理中A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确【答案】A【解析】大前提错误，因为导数等于零的点不一定是极值点，还需要左右两边单调性相反.8. 一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据
5、如下表：年龄（岁）6789身高（cm）118126136144由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为A. 154 B. 153 C. 152 D. 151【答案】B【解析】回归直线方程过样本中心点，样本中心点为，代入回归直线方程得，解得，令，有，故预测值为.9. 函数的图象如图所示，设是的导函数，若，下列各式成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数的图象可知，在区间上单调递减，由基本不等式的性质可知，所以，故选D.10. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的
6、算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式的一个实例，若输入的值分别为3,2，则输出的值为A. 35 B. 20 C. 18 D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.11. 如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长为，此四边形内在一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若,，A. B. C. D. 【答案】C【解析】连接与三棱锥的四个顶点，则将原三棱锥分成了四个小三棱锥，其体积和为,即,又由，得、，则,即，故
7、选.点睛：类比推理的运用一般分为：类比定义、类比性质和类比方法.类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比性问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可将这种方法类比运用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.12. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道，给出下列函数：；.其中在区间上通道宽度可以为1的函数的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【
8、解析】依题意可知符合题意的函数图像，在区间上被两条距离为的平行线“包夹”.对于，由于函数在区间上为减函数， ，且，故函数图像被“包夹”在直线之间，符合题意.对于，故函数在为增函数，在上为减函数，故在上取得最大值为，且在区间上函数值，故函数图像被“包夹”在直线之间，符合题意.对于，根据正弦函数的图像、周期性和值域为跨度为，可知，在区间上，不存在符合题意的通道.对于，两边平方并化简得，函数图像是是双曲线一支，双曲线的渐近线为，故图像被“包夹”在两平行直线直间，两直线间距离为，故符合题意，综上所述，有个函数符合.点睛：本题主要考查函数图像相遇性质，考查数形结合的数学思想方法，考查对新定义情景的理解.
9、通过阅读理解题目所给定的新定义，将通道问题转化为图像被两平行线“包夹”来解决.接下来通过画出四个函数的图像，其中第一个和第三个是基本初等函数，可直接画出图像，第二个利用导数画出图像，第四个是平方后化为双曲线方程来画图象.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数满足，那么_【答案】【解析】，故.14. 甲、乙、丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么通过考试的是_【答案】甲【解析】假设甲说假话，则丙通过了，不符合乙说的，故假设不成
10、立.假设乙说假话，则乙没通过，丙没通过，甲通过了，成立.假设丙说的是假话，则甲说的是假话，假设不成立。综上所述，考试甲通过了.15. 将全体正偶数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是_【答案】【解析】每行有个数，故前行有个数，再加三个，即个数，乘以得到.16. 对任意R，n0，2，向量（2n3cos，n3sin）的长度不超过6的概率为_【答案】【解析】若向量（2n3cos，n3sin）的长度不超过6，即|6，即(2n+3cos)2+(n3sin)236，整理得5n2+6n(2cossin)27，即n cos(+)275n2，即当n=0时，不等式成立，当n0时,
11、不等式等价cos(+)，.即5n2+n270，得n，n0,2，0n，综上0n，则对应的概率P=，三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出曲线C1的普通方程，从而求出曲线C2的直角坐标方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程；（2）设， ,推导出，然后确定取值范围.试题解析：（1）曲线化为普通方程为： ，又即代入上式可知：曲线的方程
12、为，即，曲线的极坐标方程为.（2）设， （），因为，所以的取值范围是.18. 平面直角坐标系中, 已知曲线,将曲线上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后, 得到曲线.（1）试写出曲线参数方程；（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大, 并求距离最大值.【答案】（1）为参数）；（2），此时点的坐标为.【解析】试题分析：（1）写出曲线的参数方程,先求出曲线的参数方程为，设，由已知将曲线上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后,可得,代换即可求出曲线的参数方程（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大,并求距离最大值,由（1）得点，利用点到直线距离公式，建立关于的三角函数式求解试题
13、解析：(1)曲线的参数方程为1分由得3分 的参数方程为5分(2)由(1)得点点到直线的距离 7分9分此时点的坐标为10分考点：参数方程.19. 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：问题（1）是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为在上恒成立，通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数的取值范围试题解析：（1）当时，即，即或或，解得或，所以解集为（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即考点：1、含绝对值
14、不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.【思路点晴】本题是一个含绝对值不等式的解法以及极端不等式恒成立问题的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，对于问题（1），由于是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为在上恒成立，再通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数的取值范围20. 在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），.（1）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线与曲线的交点为，点P（1，0），当时
15、，求的值.【答案】(1) 椭圆；（2）.【解析】试题分析：（1）由 得，该曲线为椭圆；（2）联立方程得 ， .试题解析：(1) 由 得，该曲线为椭圆.（2）将代入得 ，由直线参数方程的几何意义，设， ， ， ，所以 ，从而，由于，所以.点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)21. 已知（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：【
16、答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）不等式恒成立，不等式或两个字母与是分离的，因此有小于或等于最小值，由绝对值的几何意义可求得的最小值（表示数轴上的点与点和点的距离之和，最小值为2），解不等式即得的取值范围；（2）问题实质上就是证明不等式，观察已知发现当时，等号成立，由此我们凑出基本不等式，即，结论得证试题解析：（1）依据绝对值的几何意义可知函数表示数轴上点P（）到点A（）和B（）两点的距离，其最小值为不等式恒成立只需，解得（2）只需证明：成立即可；于是故要证明的不等式成立 考点：不等式恒成立问题，不等式的证明22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）试证明：（，）.【答
17、案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数定义域为，利用导数求出函数的单调区间.（2）对原不等式两边去以为底的对数，化为，令，故只需证，由（1）的单调区间可知函数最小值为，即，由此得证.试题解析：（1），则，解，得，解，得.函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），令，则，要证只需证，由（1）知，即，从而. 点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用单调区间和最值证明不等式，考查了分析法证明不等式和划归与转化的思想方法.第一问求函数的单调区间，它的基本步骤是先求函数的定义域，然后对函数求导、通分、令导数为零求出导函数的零点，由此可写出函数的单调区间.第二问将原不等式转化为第一问的结论来证明.
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