1、2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷一、填空题（1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，满分54分）1、设,则不等式的解集为_2、设，其中为虚数单位，则=_3、计算： 4、集合，且，则 5、已知点在函数的图像上，则的反函数 6、在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_ _7、在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的体积_8、某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的红包的概率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 9、如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为 10、设，满足，向量，则满足的实数的最小值为 11、已
2、知等差数列的公差，则使得集合，恰好有两个元素的的值为_12、函数，若函数与的图像相交于两点，且两点的横坐标分别记为，则的取值范围是 二、选择题（本大题满分20分）13、已知，则“”是“”的（ ）充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件14、已知数列是首项为，公差为的等差数列，则方程组的解的情况为（ ）无解； 有无数组解； 有唯一解； 无法确定15、已知线段上有动点（异于、），线段，且满足，则点的运动轨迹为（ ）圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分16、已知与皆是定义域、值域均为的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题：“对任意，恒成立”，命
3、题：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ） 命题真，命题真 命题真，命题假命题假，命题真 命题假，命题假三、解答题（本大题满分76分）17、（6+8=14分）长方体中，底面是正方形，是 上的一点（1）若为中点，求异面直线与所成的角；（2）若平面，求直线与平面所成的 角的大小；18、（6+8=14分）在中, ,其中角的对边分别为；(1)求的值;(2)若,求向量在方向上的投影.19、（7+7=14分）设，函数为奇函数（1）求函数的零点；（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围20、（4+7+5=16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过点的直线与
4、椭圆交于轴上方一点，以为边作矩形，其中直线过原点当点为椭圆的上顶点时，的面积为，且（1）求椭圆的标准方程；（2）求矩形面积的最大值；（3）矩形能否为正方形？请说明理由.21、（4+6+8=18分）已知数列、满足，（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）若恰好是一个等差数列的前项和，求证：数列是等差数列；（3）若数列是正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷答案一、填空题：1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、 ； 12、 二、选择题： 17、解：（1）以为轴建立
5、坐标系依题意， 2分所以， 1分异面直线与所成的角为，则 2分所以异面直线所成角的大小为 1分（2）设，则 1分 因为平面，平面，所以所以，所以， 2分，,平面的一个法向量 2分直线与平面所成的角为，则 2分所以，直线与平面所成的角的大小为 1分 18、解:(1)由已知得： 2分,即 2分又,所以 2分(3)由正弦定理,有 ,所以, 2分由题知,则 ,故. 2分根据余弦定理,有 , 解得 或 (负值舍去), 2分向量在方向上的投影为 2分19、解：（1）函数为奇函数，解得， 2分此时，为奇函数， 2分，解得，或（舍去）， 2分，函数的零点为； 1分（2）令， 2分不等式在区间上恒成立，即，恒成
6、立， 2分恒成立，故， 2分，所以实数的取值范围是 1分20、解：（1）由题意：，解得， 3分所以椭圆的标准方程为； 1分（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线为： 1分联立得，解得，所以， 2分直线的方程为，即，所以 1分所以矩形面积 2分所以当且仅当时，矩形面积取最大值为； 1分（3）若矩形为正方形，则，即， 则， 2分令，因为， 2分又的图像不间断，所以有零点，所以存在矩形为正方形. 1分21、解：（1）设等比数列的公比为，则 1分当时，数列不是等比数列； 1分当时，因为，所以，所以数列是等比数列； 1分（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为因为，所以，两式相减得，因为， 3分所以，所以数列是等差数列； 3分（3）因为数列是等差数列，所以，又因为，所以，即 ，则， 3分又因为数列是等比数列，所以，则，即，因为数列各项均为正数，所以， 2分则，即，又因为数列是等差数列，所以，即，化简得，将代入得，化简得，所以数列是等差数列 3分