1、高考解答题专项四立体几何中的综合问题1.(2021安徽十校联盟摸底考试)已知多面体ABCDEF如图所示,其中四边形ABCD为菱形,AF平面CDE,且A,D,E,F四点共面.(1)求证:平面ABF平面CDE;(2)若ABC=90,且AD=5,DE=6,AF=2,EF=41,求证:ADCE.证明(1)四边形ABCD是菱形,ABCD.AB平面CDE,CD平面CDE,AB平面CDE.又AF平面CDE,AFAB=A,平面ABF平面CDE.(2)AF平面CDE,AF平面ADEF,平面ADEF平面CDE=DE,AFDE.在线段ED上取一点G,使得EG=4,则DG=2=AF,又DGAF,四边形ADGF是平行四
2、边形,FG=AD=5,FGAD.EF=41,EF2=EG2+FG2,EGFG,ADED.ABC=90,四边形ABCD是菱形,ADDC.又DCDE=D,DC,DE平面CDE,AD平面CDE.CE平面CDE,ADCE.2.(2021浙江杭州模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=BC=3PA,PB平面PAC,E,F分别为AC,PB的中点.(1)求证:ACEF;(2)求PB与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明连接PE,BE,AB=AC=BC,ACBE.PB平面PAC,PBPA,PBPC,在RtABP和RtCBP中,AB=BC,PB=PB,RtABPRtCBP,PA=PC,ACPE.PEBE=
3、E,PE,BE均在平面PEB中,AC平面PEB,EF平面PEB,ACEF.(2)解由(1)知AC平面PEB,又AC平面ABC,平面PEB平面ABC,平面PEB平面ABC=BE.过点P作PDBE,垂足为点D,PD平面ABC,PBE就是PB与平面ABC所成的角,不妨设PA=1,在等腰三角形PAC中,PA=PC=1,AC=3,则AE=32,在RtPAE中,由勾股定理计算得PE=12,等边三角形ABC中,BE=32,在RtBPE中,sinPBE=PEBE=13,即PB与平面ABC所成角的正弦值为13.3.(2021河北唐山模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1平面ABC,ACB=
4、90,AC=BC=CC1=2.(1)证明:A1CAB1;(2)若A1B1与平面AB1C1所成角的正弦值为24,求四面体ACB1A1的体积.(1)证明平面ACC1A1平面ABC,平面ACC1A1平面ABC=AC,BC平面ABC,ACB=90,BC平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1,BCA1C.BCB1C1,B1C1A1C.AC=CC1=2,四边形ACC1A1是菱形,AC1A1C.又B1C1AC1=C1,B1C1和AC1均在平面AB1C1中,A1C平面AB1C1.又AB1平面AB1C1,A1CAB1.(2)解设AC1A1C=D,连接B1D.由(1)可知A1C平面AB1C1,B1D为A1B1
5、在平面AB1C1上的射影,则A1B1D即为A1B1与平面AB1C1所成的角.A1B1=22,sinA1B1D=24,A1D=1,A1C=A1C1=CC1=2,SA1CC1=3422=3,V四面体ACB1A1=V三棱锥B1-ACA1=13SA1CC1B1C1=1332=233.4.(2021贵州凯里模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,DAB=30,PD平面ABCD,AD=2,点E为AB上一点,且AEAB=m,点F为PD中点.(1)若m=12,证明:直线AF平面PEC;(2)是否存在一个常数m,使得平面PED平面PAB?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.(1)证明取
6、PC的中点M,连接FM,EM,如图所示.因为F,M分别为PD,PC的中点,所以FMCD,FM=12CD.因为AEAB=12,所以E为AB的中点,所以AECD,AE=12CD.所以FMAE,FM=AE.所以四边形AEMF为平行四边形,所以AFEM.因为AF平面PEC,EM平面PEC,所以直线AF平面PEC.(2)解存在一个常数m=32,使得平面PED平面PAB,理由如下:要使平面PED平面PAB,只需ABDE.因为AB=AD=2,DAB=30,所以AE=ADcos30=3.又因为PD平面ABCD,AB平面ABCD,所以PDAB.因为PDDE=D,PD,DE均在平面PED中,所以AB平面PED.因
7、为AB平面PAB,所以平面PED平面PAB,所以m=AEAB=32.5.(2021宁夏中卫三模)如图,四边形BCC1B1是某半圆柱的轴截面(过上下底面圆心连线的截面),线段AA1是该半圆柱的一条母线,点D为线段AA1的中点.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=AC=1,且点B1到平面BC1D的距离为1,求线段BB1的长.(1)证明由题意可知AA1平面ABC,AB平面ABC,AA1AB.BAC所对的弦BC为半圆的直径,BAC=2,ABAC.AA1和AC是平面AA1C1C内两条相交直线,AB平面AA1C1C.A1C平面AA1C1C,ABA1C.(2)解设BB1=a,AB=AC=1,且BAC=2,
8、BC=AB2+AC2=12+12=2.又CC1=a,BC1=BC2+CC12=2+a2.在等腰直角三角形ABC中,取BC的中点E,连接AE,则AEBC,取BC1的中点为P,连接DP,PE,PECC1,PE=12CC1,ADCC1,AD=12CC1,ADPE,AD=PE,四边形ADPE是平行四边形.PECC1,CC1平面ABC,PE平面ABC.AE平面ABC,PEAE,四边形ADPE是矩形.AB=AC,AEBC,AE平面BCC1B1,则PD平面BCC1B1.又PD=AE=22,V三棱锥D-BB1C1=132212a2=a6.点B1到平面BC1D的距离是1,V三棱锥B1-BDC1=13122+a2
9、221=2a2+412.V三棱锥D-BB1C1=V三棱锥B1-BDC1,即a6=2a2+412,a=2,即BB1=2.6.(2021河北正定中学高三月考)如图,在四棱锥A-BCDE中,四边形BCDE为菱形,AB=AD=3,BD=23,AE=AC,点G是棱AB上靠近点B的三等分点,点F是AC的中点.(1)证明:DF平面CEG;(2)点H为线段BD上一点,设BH=tBD,若AH平面CEG,试确定t的值.(1)证明取AG的中点I,记BDCE=O,连接FI,DI,GO,在ACG中,F,I分别是AC,AG的中点,所以FICG.因为GB=GI,所以同理可得OGDI.又因为FIDI=I,CGGO=G,所以平
10、面GCO平面IFD.又DF平面IFD,所以DF平面CEG.(2)解因为底面BCDE是菱形,所以OCOD.因为AE=AC,BC=BE,AB=AB,所以ABCABE,则易得GC=GE,又因为O是EC的中点,所以OCOG.因为OGOD=O,OG,OD均在平面ABD中,所以OC平面ABD,又AG平面ABD,所以OCAG,即OCAB.因为AB=AD=3,BD=23,所以cosABD=AB2+BD2-AD22ABBD=(23)22323=33,则OG=BG2+OB2-2BGOBcosABD=1+3-21333=2,则OG2+BG2=OB2,所以BGOG,即ABOG.又因为OCOG=O,OC,OG均在平面C
11、EG中,所以AB平面CEG.若AH平面CEG,则H与B重合.故t=0.7.(2021宁夏银川模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,把ADE沿AE翻折,翻折后点D的对应点是点H,使得平面AHE平面ABCE.(1)求证:AHBE;(2)在CH上确定一点F,使AH平面BEF;(3)求四棱锥F-ABCE的体积.(1)证明平面AHE平面ABCE,平面AHE平面ABCE=AE,又由已知可得AE=BE=2,AB=2,BEAE.又BE平面ABCE,BE平面AHE.AH平面AHE,BEAH,即AHBE.(2)解连接AC交BE于点G,则CGGA=CEAB=12,在线段CH上取CH的三等
12、分点F(靠近C),连接FG,则CFCH=CGCA=13,可得AHFG,而AH平面BEF,FG平面BEF,则AH平面BEF.(3)解取AE中点O,连接HO,则HOAE,又平面AHE平面ABCE,且平面AHE平面ABCE=AE,HO平面ABCE.在RtAHE中,可得HO=22.F为CH的三等分点F(靠近C),F到平面ABCE的距离为1322=26.可得四棱锥F-ABCE的体积为1312(1+2)126=212.8.(2021广西钦州模拟)如图,已知等腰梯形ABCD满足ADBC,2AD=BC=2,DCB=3,沿对角线BD将ABD折起,翻折后,点A的对应点是点H,使得平面HBD平面BCD.(1)若点E
13、是棱HD上的一个动点,证明:BECD;(2)若点P,N分别是棱CD,BC的中点,K是棱BD上的一个动点,试判断三棱锥K-HNP的体积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,试说明理由.(1)证明如图,在等腰梯形中,过A,D分别作底边的垂线,垂足分别为M,N,在RtDNC中,CN=12,因为DCB=3,所以NDC=6,所以CD=1.在ABD中,AB=AD=1,BAD=23,由余弦定理可知,BD=12+12-211cos23=3.在BDC中,BD=3,BC=2,CD=1,满足BD2+CD2=BC2,所以BDCD.因为平面HBD平面BCD,且平面HBD平面BCD=BD,CD平面BCD,所以CD平面HBD.又因为BE平面HBD,所以CDBE.(2)解三棱锥K-HNP的体积是定值.如图,因为CN=BN,CP=DP,所以NPBD.所以SKPN=SDPN=123212=38.取BD的中点F,连接HF,因为HB=HD,所以HFBD.因为平面HBD平面BCD,且平面BCD平面HBD=BD,HF平面HBD,所以HF平面BCD.又在HBD中,HB=HD=1,BHD=23,所以HF=12,所以V三棱锥K-HNP=V三棱锥H-DNP=13SDNPHF=133812=348为定值.
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