1、课时规范练58绝对值不等式基础巩固组1.(2021广西北海模拟)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|.(1)当a=1时,求不等式f(x)7的解集;(2)若存在x0R,f(x0)|a+3|,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-4|=5-2x,x1,3,1x4,2x-5,x4,则x1,5-2x7或1x4,37.故不等式f(x)7的解集为(-1,6).(2)f(x)=|x-a|+|x-4|(x-a)-(x-4)|=|a-4|.|a-4|a+3|,则a2-8a+1612.故a的取值范围为12,+.2.(2020全国,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1
2、|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为xx32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a-1|2时,f(x)4.所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).3.(2021四川绵阳一诊)已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|.(1)在如图所示的网格图中画出函数f(x)的图像;(2)若实数m满足
3、f(2m-1)f(2m+1),求m的取值范围.解:(1)由已知条件可得,f(x)=-4,x-12,4x-2,-12x32,4,x32.作出函数图像如图所示.(2)由(1)的图像可得,实数m满足-522m-132或-122m+172,解得-34m54.所以实数m的取值范围为-34,54.4.关于x的不等式|x-2|m(mN+)的解集为A,且32A,12A.(1)求m的值;(2)设a,b,c为正实数,且a+b+c=3m,求a+b+c的最大值.解:(1)由已知得|32-2|m,|12-2|m,解得120).(1)当b=1,a=2时,解不等式f(x)5;(2)当b=2时,若不等式f(x)3对任意的xR
4、恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当b=1,a=2时,不等式f(x)5即为|x|+|x-2|5,当x2时,可得x+(x-2)5,解得x72,则2x72;当0x2时,可得x-(x-2)5,即25,所以0x2;当x0时,可得-x-(x-2)5,解得x-32,则-32x0.综上可得,原不等式的解集为-32,72.(2)当b=2时,若不等式f(x)3对任意的xR恒成立,即为f(x)min3,又f(x)=2|x|+|x-a|=3x-a,xa,x+a,0xa,a-3x,x0,所以当xa时,f(x)f(a)=2a,当0xa时,af(x)2a,当x0时,f(x)a,故f(x)min=a,则a3,即a的取值
5、范围是3,+).综合提升组6.(2021安徽桐城模拟)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图像有公共点,求k的取值范围.解:(1)由f(x)2,得x1,2-2x2或1x4,02或x4,2x-82,解得0x5,故不等式f(x)2的解集为0,5.(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=2-2x,x1,0,10).(1)若a=1,求不等式f(x)5的解集;(2)若f(x)a2-2a+4恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)若a=1,不等式f(x)5即为|2x-4|+|x+1|5,等价为x-1,4-2x-x-15或-
6、1x2,4-2x+x+15或x2,2x-4+x+15,解得x-1或-10,而|2x-4|+|x+a|=|x-2|+(|x-2|+|x+a|)|2-2|+|x-2-x-a|=|a+2|=a+2,所以a2-2a+4a+2,即a2-3a+20,解得1a2,即a的取值范围是1,2.8.已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1R,存在x2R,使得f(x1)g(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|+|2x-2|=-3x+1,x1,f(x)min=f(1)=2,故当x=1时,f(x)取得最小
7、值2.(2)由(1)得f(x)min=2,而g(x)=|x-1|+|x+3m|-m|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m,当且仅当x=1时,等号成立.由题意知,对任意x1R,存在x2R使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)min,即2|1+3m|-m,所以2+m0,(2+m)2(1+3m)2,解得-34m12,即m的取值范围为-34,12.创新应用组9.(2021广西桂林模拟)已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+g(x)6的解集为A,若1,2A,求实数a的取值范围.解:
8、(1)f(x)+2g(x)=|2x-a|+|2x+4|2x-a-2x-4|=|-a-4|,|a+4|=2,解得a=-2或-6.(2)由f(x)+g(x)6得|2x-a|+|x+2|6,当x1,2时,|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+26,即|2x-a|4-x,2x-ax-4,解得a-4x2,a-41,解得2a5,即a的取值范围为(2,5).10.(2021吉林白山联考三)已知函数f(x)=|x-2|-a|x+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)m+1恰有2个整数解,求实数m的取值范围.解:(1)当a=1时,函数f(x)=|x-2|-|x+1|=-3,x2,-2x+1,-1x2,3,x-1,不等式f(x)x等价于x2,-3x或-1x2,-2x+1x或x-1,3x,解得x2,或13x2,或x.所以不等式f(x)x的解集为13,+.(2)当a=2时,函数f(x)=|x-2|-2|x+1|=x+4,x-1,-3x,-1xm+1恰有2个整数解,所以1m+12,解得0m1,所以实数m的取值范围是0,1).
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