1、课时规范练54古典概型基础巩固组1.(2021山东济南一模)环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染,决定对全部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示(线段代表街道),洒水车随机选择A,B,C,D,E,F中的一点驶入进行作业,则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:B解析:仅能从点E或B出发不重复地走遍全部街道,所以P=26=13,故选B.2.袋中共有完全相同的4只小球,编号为1,2,3,4,现从中任取2只小球,则取出的2只球编号之和是奇数的概率为()A.25B.35C.13D.23答案:D解析:在编号为1,2,3,4的
2、小球中任取2只小球,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种取法,则取出的2只球编号之和是奇数的有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种取法,所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为P=46=23.故选D.3.(2021山西运城联合体4月模拟)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,从这些数据中等可能地任取一个,则这个数据落在区间22,30)内的概率为()A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6答案:B解析:茎叶图10个原始数据中落在区间22,30)内的共有4个,包括2个22,1个27,1个29,则数据落在区间22
3、,30)内的概率为410=0.4.4.(2021山西晋中二模)魔方又叫鲁比克方块(Rubiks Cube),是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家厄尔诺鲁比克于1974年发明的机械益智玩具,与华容道、独立钻石棋一起被称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开所得.现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块,2面有色的小正方体称为边缘方块,3面有色的小正方体称为边角方块.若从切开的小正方体中任取一个,恰好抽到边缘方块的概率为()A.29B.827C.49D.12答案:C解析:沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个,其中
4、有3个面涂色的小正方体共有8个,只有2个面涂色的小正方体共有12个,只有1个面涂色的小正方体共有6个,所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为1227=49.故选C.5.如图的折线图是某公司2021年1月至12月份的收入与支出数据,若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析,则这2个月中至少有一个月利润(利润=收入-支出)不低于40万的概率为()A.15B.25C.35D.45答案:D解析:由题图可知,7月、8月、11月的利润不低于40万元,从6个月中任选2个月的所有可能结果有(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(8,9),(8,10),(8,11)
5、,(8,12),(9,10),(9,11),(9,12),(10,11),(10,12),(11,12),共15种,其中至少有1个月的利润不低于40万元的结果有(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(9,11),(10,11),(11,12),共12种,故所求概率为1215=45.故选D.6.设a1,3,5,b2,4,6,则函数f(x)=logba1x是减函数的概率为.答案:23解析:a1,3,5,b2,4,6,试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字组成一个数对(a,b),基本事件总数为9.函数f(x)=l
6、ogba1x是减函数,ba1,函数f(x)=logba1x是减函数包含的基本事件有:(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6),共6个,函数f(x)=logba1x是减函数的概率P=69=23.7.若m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,则椭圆x2m+y22=1的焦距为整数的概率为.答案:12解析:因为m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,所以基本事件总数为6.椭圆x2m+y22=1的焦距为整数,则m的可能取值有1,3,11,基本事件个数共有3个,椭圆x2m+y22=1的焦距为整数的概率P=36=12.8.(2021河南驻马店期末)从
7、只读过论语的2名同学和只读过红楼梦的3名同学中任选2人在班内进行读后分享,则选中的2人都读过红楼梦的概率为.答案:310解析:将只读过论语的2名同学分别记为x,y,只读过红楼梦的3名同学分别记为a,b,c,设“选中的2人都读过红楼梦”为事件A,从5名同学中任选2人的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,其中事件A包含的可能情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故P(A)=310.9.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是
8、.答案:19解析:第1,2次向上的点数分别记为a,b,每次结果记为(a,b),则所有的可能情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,其中,点数和为5包含的情况有(1,4),(2,3),(3,2)
9、,(4,1),共4种,故所求概率为436=19.综合提升组10.(2021安徽滁州期末)某科研单位需要从濒临灭绝的白鳍豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种动物中随机选出3种进行调查研究,则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是()A.15B.310C.25D.12答案:B解析:若用A,B,C,D,E分别表示白鳍豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟,那么从这5种动物中随机选出3种,所有的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,白鲟和中华鲟同时被选中的情况有ADE,BDE,CDE,共3种,所以白鲟和中华鲟同时被选中的概率是310.故选B.11.(2
10、021山东德州一模)齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为()A.13B.23C.16D.12答案:C解析:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C,齐王的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,所有的基本事件
11、有6种,分别为(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),比赛结束时,田忌得2分的基本事件有(Ab,Bc,Ca),只有1种,所以比赛结束时,田忌得2分的概率P=16.故选C.12.先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次掷出的点数记为a,第二次掷出的点数记为c,则使关于x的一元二次方程ax2+6x+c=0有实数解的概率为()A.49B.1736C.12D.1936答案:B解析:当b2-4ac0,即36-4ac0时,方程有实根,ac9.a,c的积的列表如下:积a123456c1123456224681
12、012336912151844812162024551015202530661218243036ac一共有36种情况.方程有实数根的情况有17种,方程有实数根的概率P=1736.故选B.13.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为.答案:310解析:由茎叶图可得甲的5次得分分别为18,19,20,21,22,则甲的平均得分为15(18+19+20+21+22)=20.设污损数字为x,则乙的5次得分分别为15,16,18,28,(20+x),则乙的平均成绩为15(15+16+18+28+20+x)=19.4
13、+x5.0x9,xZ,当x=0,1,2时,甲的平均得分高于乙的平均得分,甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为310.14.甲、乙两人玩一种游戏,每次试验由甲、乙各出1到5根手指.若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解:(1)甲、乙出手指都有5种可能,因此基本事件的总数为25,事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共5种情况.P(A)=525=15.(2)B与C不
14、是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,事件B与C同时发生.(3)这种游戏规则不公平,由(1)知基本事件总数为25个,和为偶数的基本事件数有13个,分别是(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平.创新应用组15.街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位,供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润(单位:元),绘制如下茎叶图.(1)根据茎叶图,计算东区10位摊主当日利润的平均数、方差;
15、(2)从当日利润90元以上的摊主中,选出2位进行经验推介,求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.解:(1)东区10位摊主利润的平均数是110(68+69+75+73+78+80+89+81+92+95)=80,方差是110(68-80)2+(69-80)2+(75-80)2+(73-80)2+(78-80)2+(80-80)2+(89-80)2+(81-80)2+(92-80)2+(95-80)2=79.4.(2)符合条件的东区2位摊主分别设为A,B,西区3位摊主分别设为c,d,e.再从这5位摊主中随机抽取2位,共包含(A,B),(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种等可能的结果;其中东、西两个区域各1位摊主事件包含(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),共6种等可能的结果.由古典概型计算公式可得,选出东、西两个区域各1位摊主的概率为610=35.
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