1、课时规范练46双曲线基础巩固组1.(2021北京丰台一模)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是52,则a=()A.2B.2C.22D.4答案:B解析:由e2=1+b2a2=1+1a2=54,得a=2,故选B.2.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.45答案:A解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|33-40|32+(-4)2=95.故选A.3.(2021北京,5)双曲线C:x2a2-y2b2=1过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程
2、为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2-3y23=1D.3x23-y2=1答案:A解析:e2=1+b2a2=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为x2a2-y23a2=1,由双曲线过点(2,3),得2a2-33a2=1a2=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2-y23=1.故选A.4.(2021山东济南一模)已知双曲线x2m+1-y2m=1(m0)的渐近线方程为x3y=0,则m=()A.12B.3-1C.3+12D.2答案:A解析:由双曲线x2m+1-y2m=1(m0)的渐近线方程为x3y=0,得mm+1=13,解得m=12.5.(2020北京模拟预测)设F1,F2为双曲线
3、C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=22xB.y=24xC.y=3xD.y=13x答案:A解析:因为双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,所以2a=132c,则c=3a,所以e=ca=3,所以ba=c2a2-1=32-1=22,所以双曲线的渐近线的方程为y=22x,故选A.6.(2021北京高三期中)如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5 m,水面宽AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽是()(结果精确到0.1 m)(参考数值:21.41,52.24,72.65)A.43.8 mB.44
4、.8 mC.52.3 mD.53.0 m答案:B解析:建立如图所示的坐标系,设双曲线的方程为y2a2-x2a2=1(a0),则其顶点为(0,-a),由题意得A(-15,-a-5),代入双曲线方程得(a+5)2-152=a2,解得a=20,水面下降5米后,水面为AB,设A(x0,-a-10),即A(x0,-30),代入双曲线方程得(-30)2202-x02202=1,又x00,b0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sinPF2F1=3sinPF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+)D.(2,3)答案:A解析:在PF1F2中,因为s
5、inPF2F1=3sinPF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在PF1F2中,由|PF1|+|PF2|F1F2|,得3a+a2c,即2ac,所以e=ca1,所以1e0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线方程为y=34x,P为C上一点,则以下说法正确的是()A.C的实轴长为4B.C的离心率为53C.|PF1|-|PF2|=8D.C的焦距为10答案:D解析:由题意,ba=34,又b=3,所以a=4,则c=5,所以2a=8,2c=10,选项A,B错,D正确,当点P为双曲线左
6、支上的点时,选项C错,故选D.10.已知F是双曲线C:x24-y25=1的右焦点,若P是C的左支上一点,A(0,66).则APF周长的最小值为.答案:34解析:设双曲线的左焦点为F,由双曲线C:x24-y25=1,得a=2,b=5,c=3,F(3,0),F(-3,0),|AF|=|AF|=9+216=15,APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15,由双曲线的定义知|PF|=4+|PF|,即APF的周长为|PA|+|PF|+19|AF|+19=34,当A,P,F三点共线时取等号.综合提升组11.(2021山东聊城三模)已知A,B,C是双曲线:x2a2-y2b2=1(a
7、0,b0)上的三点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC,且CF=32FA,则该双曲线的离心率为()A.172B.173C.32D.375答案:D解析:设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,如图所示,由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BFAC,四边形AEBF为矩形,令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n,|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,CF=32FA,|CF|=32n,|AC|=|CF|+|AF|=52n,|CE|=2a+|CF|=2a+32n,在RtEAC中,m2+52n2=2a+32n2,将2a=m-n代入消去a,可得m=6n,n=2
8、5a,m=125a,在RtEAF中,m2+n2=(2c)2,即125a2+25a2=(2c)2,可得e=ca=375.故选D.12.(2021全国高三专题练习)设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为()A.332B.6C.3D.62答案:D解析:由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,由题意,|HF2|=|bc-0|a2+b2=b,|OH|=a,由SOHF2=12cyH=12ab,得yH=abc,Ha2c,abc,|HF1|=(a2c+c)2+(
9、abc)2=3|HF2|=3b,两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b2=2b4,2b2a22+b2a22-1=0,解得b2a2=12,e2=1+b2a2=32,e=62,故选D.13.(2021四川诊断)已知F(c,0)(其中c0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点,圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A,B两点,已知l的倾斜角为30,则tanAFB=()A.-2B.-3C.-22D.-23答案:C解析:由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx+b2=0化为(x-c)2+y2=a2,圆心(c,0),半径为a,l与圆
10、(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,由l的倾斜角为30,可得ba=tan30=33,过F作FDAB,点D为垂足,F(c,0)到直线l的距离为|FD|=|bc|b2+a2=b,|BD|=a2-b2,则tanDFB=|BD|FD|=a2-b2b=a2b2-1=2,得tanAFB=tan2DFB=2tanDFB1-tan2DFB=221-2=-22.故选C.14.(2021安徽安庆二模)已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为G.连接F1G,设直线F1G,F2G的斜率分别为k1,k2,若k1k
11、2=-13,则双曲线C的离心率为.答案:2解析:已知焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c=a2+b2.根据对称性,不妨设点G在渐近线y=bax上,则直线F2G的方程为y=-ab(x-c),与y=bax联立,得Ga2c,abc,所以k1=abca2c+c=aba2+c2,由k1k2=-13,得aba2+c2-ab=-13,化简得c2=2a2,故e=2.15.(2020全国,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.答案:2解析:由题意可得A(a,0),F(c,0)
12、,其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,b2a.AB的斜率为3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.创新应用组16.(2021浙江,9)已知a,bR,ab0,函数f(x)=ax2+b(xR).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线答案:C解析:由题意得f(s-t)f(s+t)=f(s)2,即a(s-t)2+ba(s+t)2+b=(as2+b)2,整理得-2a2s2t2
13、+a2t4+2abt2=0,所以-2as2+at2+2b=0或t=0,其中s2ba-t22ba=1为双曲线,t=0为直线.故选C.17.(2021山东潍坊二模,改编)已知双曲线C:x2-y23=1,其左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P,Q,且PF1PQ=0,则下列结论错误的是()A.PF1Q的周长为4B.PF1F2的面积为3C.|PF1|=7+1D.PF1Q的内切圆半径为7-1答案:A解析:如图,由双曲线x2-y23=1,得a2=1,b2=3,所以c=a2+b2=2,则|F1F2|=4,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,PF1
14、PQ=0,F1PQ=90,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,|PF1|+|PF2|=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=216-4=27.从而RtF1PQ的内切圆半径:r=12(|PF1|+|PQ|-|F1Q|)=12(|PF1|+|PF2|)-12(|QF1|-|QF2|)=1227-122=7-1.故PF1Q的内切圆半径为7-1,故D正确;联立|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=27,解得|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,故C正确;SPF1F2=12|PF1|PF2|=12(7+1)(7-1)=3,故B正确;由|PF1|-
15、|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2,且|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,解得|QF2|=9+37,|QF1|=11+37.PF1Q的周长为20+87,故A错误.18.(2021山东德州二模)已知F1,F2是双曲线y2-x24=1的两个焦点,P是双曲线上任意一点,过F2作F1PF2平分线的垂线,垂足为N,则点N到直线x+y-22=0的距离的取值范围是.答案:1,3解析:设P为双曲线的下支上一点,延长F2N与PF1交于M,连接ON,由MF2PN,且N为中点,由等腰三角形的三线合一性质,得|PM|=|PF2|,所以|MF1|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|ON|=12|MF1|=1,则N的轨迹方程为圆x2+y2=1,由O到直线x+y-22=0的距离d=222=2,可得N到直线x+y-22=0的距离的取值范围是2-1,2+1,即1,3.
