1、课时规范练42点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且lm,它们的距离是2,则直线l的方程是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=0答案:A解析:因为lm,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是5,则m+n=()A.0B.1C.-2D.-1答案:C解析:由题意,得12=-2n,解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=|m+3|1+4=5(m0),解得m=2,所以m+n=-2.7.(2020湖
2、北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是()A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0答案:D解析:由题意,得x+y-3=0,2x-y=0,解得x=1,y=2,所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12,所以所求直线方程是y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.8.(2021贵州遵义师院附中期末)直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该定点的坐标是.答案:(-2,1)解析:直线mx-y+2m+1=0可化为m(x+2)+(-y+1)=0,因为mR
3、,所以x+2=0,-y+1=0,解得x=-2,y=1,即直线mx-y+2m+1=0过定点(-2,1).9.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是.答案:13解析:因为直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离d取得最大值为|MN|=(1-3)2+(4-1)2=13.10.设ABC的一个顶点是A(-3,1),角B,C的平分线所在直线的方程分别为直线x=0,y=x,则直线BC的方程为.答案:y=2x-5解析:角
4、B,C的平分线所在直线分别是直线x=0,y=x,AB与BC关于直线x=0对称,AC与BC关于直线y=x对称.A(-3,1)关于直线x=0的对称点A(3,1)在直线BC上,A关于直线y=x的对称点A(1,-3)也在直线BC上.由两点式,得出所求直线BC的方程为y=2x-5.11.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是.答案:x-2y+2=0解析:由2x-y-2=0,x+y-4=0,得x=2,y=2,即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b).则ba-1=1,a+12+b2-4=
5、0,即a-b-1=0,a+b-7=0,解得a=4,b=3,即对称点的坐标为(4,3),则l的方程为y-23-2=x-24-2,整理得x-2y+2=0.综合提升组12.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,10a,则直线AB的方程为()A.y=-34x+5B.y=34x-5C.y=34x+5D.y=-34x-5答案:C解析:由直线y=2x和x+ay=0垂直可得a=2,则P(0,5),设A(x1,2x1),Bx2,-x22,于是有x1+x2=0,2x1-x22=10,解得x1=4,x2=-4.于是A(4,8),B(-4,2),AB所在的直线方程为y
6、-28-2=x+44+4,即y=34x+5.故选C.13.已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图像上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:A解析:设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=22,则点C到直线AB的距离d=|t+t2-2|2.因为ABC的面积为2,所以1222|t2+t-2|2=2,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.14.(2021陕西宝鸡二模)四边形ABCD中,A=C=90,B=60,AD=3,DC=5,则对角线BD的长为
7、()A.19B.3342C.7D.1433答案:D解析:(方法1)以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系如图所示,延长BC交y轴于点M,由AD=3,可得D(0,3),因为B=60,从而DMC=30,又MCD=90,所以MDC=60,所以MD=2DC=10,MA=MD+DA=13,故M(0,13),所以AB=MAtan30=1333,可得B1333,0,所以BD=(0-1333)2+(3-0)2=1433.故选D.(方法2)在四边形ABCD中,由题意得ADC=120,所以AC2=32+52-235cos120=49,即AC=7,ADC的外接圆也是四边形ABCD的外接圆,
8、所以BD=2R=ACsin120=1433.15.如图,已知ABC为等腰直角三角形,其中BAC=90,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=.答案:10解析:以A为坐标原点,AB,AC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,因为ABC为等腰直角三角形,其中BAC=90,且AB=2,则lBC:x+y-2=0,点P(1,0),所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0),设点P关于直线lBC:x+y-2=0的对称点为P2(x0,y0),则y0x0-1=1且x0+12+y02-2=0,解得P2(2,1),则PQ+QR
9、+RP=P2Q+QR+RP1=P1P2=10.16.(2021吉林高三月考)已知xR,y0,则x+1y2+(x-2y)2的最小值为.答案:4解析:x+1y2+(x-2y)2看作两点A(x,x),B-1y,2y之间距离的平方,点A在直线y=x上,点B在曲线y=-2x,x0上,由y=-2x=2x2,令2x2=1,解得x=2,由对称性不妨取点B(-2,2),所以|AB|-2-2|2=2,所以|AB|24,即x+1y2+(x-2y)2的最小值为4.创新应用组17.若点P在直线x-2y+1=0上,点Q在直线x-2y+3=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且-1x0+y02,则y0x0的取值范围是.
10、答案:-,-142,+)解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1-2y1+1=0,x2-2y2+3=0,两式相加可得x1+x2-2(y1+y2)+4=0,由于PQ的中点为M(x0,y0),所以x0-2y0+2=0,且满足不等式-1x0+y02,所以-13y0-22,即y013,43,故M的轨迹是一条线段AB,由y0=13,得x0=-43,由y0=43,得x0=23,即A23,43,B-43,13,y0x0表示点M与原点连线的斜率,由图可知,y0x0kOA或y0x0kOB,因为kOA=2,kOB=-14,所以y0x02或y0x0-14.所以y0x0的取值范围是-,-142,+).18.
11、(2020安徽六安月考)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.5,25B.10,25C.10,45D.25,45答案:B解析:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3),因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P又是两条直线的交点,所以PAPB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.设ABP=,则|PA|=10sin,|PB|=10cos,由|PA|0且|PB|0,可得0,2,所以|PA|+|PB|=10(sin+cos)=25sin+4,因为0,2,所以+44,34,所以sin+422,1,所以25sin+410,25.
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