1、31.5 空间向量的数量积学习目标1.掌握空间向量数量积的概念、运算律，能正确进行运算及在空间坐标系下的运算2能正确地运用空间向量的数量积知识求夹角、距离，并能正确地判断一些有关平行、垂直等问题 课堂互动讲练 知能优化训练 31.5课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1平面向量a，b，则_.2平面向量的数量积满足交换律及分配律，即ab_，(ab)c_.ab|a|b|cosbaacbc1空间两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b的夹角，记作_规定 0a，b.知新益能a，b(2)由定义可得如下结论：a，bb，a；如果a
2、，b0，则 a，b_；如果a，b，则 a，b_；如果a，b2，则称 a，b_，并记作_.(3)两个非零向量才有夹角，而 0 与其他向量之间不定义夹角同向反向互相垂直ab2空间两向量数量积的定义定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab_特别规定：零向量与任一向量的数量积为0.|a|b|cosa，b3空间向量数量积的性质设a，b是两非零向量，e是单位向量，a，e是a与e的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1)eaae_；(2)ab_(a，b是两个非零向量)；(3)a，b同向ab_；a，b反向ab_；|a|cosa，eab0|a|b
3、|a|b|(4)cosa，b_(a，b为 a，b 的夹角)；(5)aaa2_或|a|_.4空间向量数量积的运算律(1)交换律：_；(2)数乘向量与数量积的结合律：(ab)(a)ba(b)(R)；(3)分配律：(ab)cacbc.ab|a|b|a|2aaabba5空间向量的直角坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab_；(2)aba1b1，a2b2，a3b3(R)，或a1b1a2b2a3b3(b10，b20，b30)a1b1a2b2a3b36夹角和距离公式(1)夹角公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，其中 a，b0.则 cosa，ba1b1a2
4、b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.(2)距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|_.x2x12y2y12z2z121a，b与b，a的关系是怎样的？a，b与a，b的关系呢？提示：a，bb，a，a，ba，b2如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致，即空间平面“一个样”，只是“多了一个量”问题探究 课堂互动讲练 考点突破 求向量的数量积 两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，其结果是个数量，不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其
5、符号由夹角的余弦值决定已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积：(1)BC ED1；(2)BF AB1；(3)EF FC1.例1【思路点拨】先选择基向量，再运用向量的数量积公式计算【解】如图所示，设AB a，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)BC ED1 BC(EA1 A1D1)b12(ca)b|b|24216.(2)BF AB1(BA1 A1F)(AB AA1)(ca12b)(ac)|c|2|a|222220.(3)EF FC1(EA1 A1F)(FD1 D
6、1C1)12(ca)12b(12ba)12(abc)(12ba)12|a|214|b|22.【名师点评】本题所用方法是基底法，也可用坐标法，针对于不同的图形条件可有选择地应用自我挑战如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E、F 分别是AB、AD 的中点，计算：(1)EF BA；(2)EF DC.解：(1)EF BA 12BD BA12|BD|BA|cosBD，BA 1211cos 6014，(2)EF DC 12BD DC12|BD|DC|cosBD，DC 1211cos 12014.求向量的模，可以利用向量的数量积，即|a|2aa，或者用坐标法求两点间的距离求
7、线段的长度(向量的模)如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AD3，AA15，BAA1DAA160，求AC1的长例2【思路点拨】要选取合适的基向量表示AC1，再借助向量的数量积进行计算【解】由题意可得AB AD 0，AB AA1 45cos 6010，AD AA1 35cos 607.5.因为AC1 AB BC CC1 AB AD AA1，【名师点评】求AC1的长，先把AC1转化为向量表示，然后根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求所以|AC1|2(AB AD AA1)2|AB|2|AD|2|AA1|22(AB AD AB AA1 AD AA
8、1)4232522(0107.5)85.从而得到 AC1 的长为85.向量的坐标运算往往注重运算过程，因而向量的数量积的有关问题也多运用其坐标形式来解决向量数量积的坐标公式的应用 本题满分 14 分)已知空间三点 A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)设 aAB，bAC.(1)求 a 和 b 的夹角 的正弦值；(2)若向量 kab 和 ka2b 互相垂直，求 k 的值例3【思路点拨】(1)利用向量数量积的坐标公式求解(2)利用两向量垂直的充要条件列方程求解【规范解答】aAB(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，bAC(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2).4 分(1)c
9、os ab|a|b|1002 5 1010.0，sin 1cos21 1103 1010.9 分(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(kab)(ka2b)0，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，12 分即 2k2k100.k52或 k2.14 分【名师点评】若 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)(a，b 为非零向量且 x1，x2，y1，y2，z1，z2 均不为 0)，则 abx1x2y1y2z1z2；abx1x2y1y2z1z20.1由定义可以得到两个向量的夹角只与两个向量的方向有关，
10、而与向量公共起点位置的选取无关，也与向量的模的大小无关2利用两个向量的夹角为2，判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一方法感悟 3数量积是数量，可以是正数，也可以是负数或零，它没有方向，可以比较大小a与b的数量积的几何意义是：向量a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cosa，b的乘积4利用坐标运算求向量的夹角，以至求异面直线所成的角，是空间向量知识的重要应用，也是求异面直线所成角的基本方法之一5在求线段长度时，一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2a2来求解选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的、已知的当所选基向量两两互相垂直时，可以建立空间直角坐标系，用坐标运算更为方便6求异面直线所成角时，应注意异面直线所成角与向量夹角的区别：如果向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量夹角；如果向量夹角为钝角，则异面直线所成的角为向量夹角的补角知能优化训练