1、课时规范练16利用导数研究函数的极值、最值基础巩固组1.(2021江苏徐州模拟)设x=是函数f(x)=3cos x+sin x的一个极值点,则tan =()A.-3B.-13C.13D.3答案:C解析:f(x)=-3sinx+cosx,由已知可得f()=-3sin+cos=0,tan=13.2.(2021西藏林芝一中高三月考)设三次函数f(x)的导函数为f(x),函数y=xf(x)的部分图像如下图所示,则()A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)C.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)D.f(x)的极大值为f(-3),极小
2、值为f(3)答案:A解析:观察图像知,当x0,f(x)0,f(x)是递减的;当-3x0时,y=xf(x)0,f(x)是递增的;故当x=-3时,函数取得极小值为f(-3);当0x0,f(x)0,f(x)是递增的;当x3时,y=xf(x)0,f(x)0,f(x)是递减的;故当x=3时,函数取得极大值为f(3).故选A.3.(2021陕西西安中学模拟)已知函数f(x)=12sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是()A.-332B.332C.-334D.334答案:C解析:由题得f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),所以当cosx12时
3、,f(x)0,f(x)是递增的;当-1cosx0,f(x)是递增的,在区间(-1,1)内f(x)1,当x=1时,f(x)有极小值f(1)=0,所以B选项正确;注意到f(x)0恒成立,所以f(1)=0是f(x)的最小值,C选项错误;画出f(x)的大致图像如下图所示,由图可知函数f(x)的图像与直线y=1有3个交点,D选项正确.5.(2021安徽师大附中模拟)函数f(x)=12x2-2ln x+x的极值点是.答案:1解析:f(x)=12x2-2lnx+x的定义域为(0,+),f(x)=x-2x+1=1x(x+2)(x-1),令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x0),由题意可知f(2)=-
4、2+7+a2=0,解得a=-10,所以f(x)=-x+7-10x=-x2-7x+10x,当f(x)0时,解得2x5;当f(x)0时,解得0x5,所以f(x)在(0,2),(5,+)上是递减的,在(2,5)内是递增的,故f(x)的极大值为f(5)=-252+35-10ln5=452-10ln5.8.(2021江苏盐城模拟)已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=2x3-mx2-12x+6,所以f(x)=6x2-2mx-12.因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个
5、极值点为2,所以f(2)=622-2m2-12=0,解得m=3,此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f(x)=0,得x=-1或x=2,令f(x)0,得-1x0,得x2,故函数f(x)在区间(-1,2)内是递减的,在区间(-,-1),(2,+)上是递增的.(2)由(1)知,f(x)在-2,-1上是递增的,在(-1,2上是递减的,所以x=-1是函数f(x)的极大值点.又因为f(-2)=2,f(-1)=13,f(2)=-14,所以函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-14,最大值为13.9.(2021重庆实验中学高三月考)已知函数f(x
6、)=ex-ax,aR,e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值及f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间0,1上的最小值.解:(1)因为f(x)=ex-ax,则f(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=1处取得极值,则f(1)=e1-a=0,即a=e,则f(x)=ex-e,令f(x)=ex-e0,则x1,令f(x)=ex-e0,则x0时,f(x)在(-,lna)上是递减的,(lna,+)上是递增的.当1lna即ae时,f(x)在0,1上是递减的,所以f(x)min=f(1)=e-a;0lna1即1ae时,所以f(x)在0,lna)上是递减的,(lna,1上是递增
7、的,所以f(x)min=f(lna)=a-alna;lna0即0a1时,f(x)在0,1上是递增的,f(x)min=f(0)=1.综上,当a1时,f(x)min=1;当ae时,f(x)min=e-a;当1a0的解集为13,2答案:B解析:对于A选项,因为f(x)=lnx+2ax,则f(x)=1x-2ax2,所以f(1)=2a,f(1)=a-2a,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y-2a=a-2a(x-1),即(a-2)x-ay-a+4=0,A选项正确;对于B选项,f(x)的定义域为(0,+),当a0,f(x)=1x-2ax20,此时函数f(x)在(0,+)上是递增的,无极值,B选项
8、错误;对于C选项,当a=1时,f(x)=lnx+2x,该函数的定义域为(0,+),f(x)=1x-2x2=x-2x2,当0x2时,f(x)2时,f(x)0,此时函数f(x)是递增的,所以f(x)f(2)=ln2+1,C选项正确;对于D选项,当a=-1时,f(x)=lnx-2x,定义域为(0,+),则f(x)=1x+2x20对任意的x0恒成立,所以函数f(x)=lnx-2x为(0,+)上的增函数,由f(2x+1)-f(3x-1)0可得f(2x+1)f(3x-1),所以2x+13x-10,解得13x0),因为点A在抛物线上,可得p=98,所以抛物线的方程为y=49x2.要使所填充的混凝土量最小,则
9、如图等腰梯形ABCD的面积要最大,设点Ct,49t20t32,则此时梯形ABCD的面积S(t)=12(2t+3)1-49t2=-49t3-23t2+t+320t32,所以S(t)=-43t2-43t+1=-13(2t+3)(2t-1).令S(t)=0,解得t=12.所以当0t0,S(t)在0,12内是递增的,当12t32时,S(t)0,S(t)在12,32内是递减的,所以当t=12时,S(t)取得最大值,此时新水渠的底宽CD为1m.12.(2021辽宁丹东二模)设函数f(x)=x3-3ax2+3ax+4a3,已知f(x)的极大值与极小值之和为g(a),则g(a)的值域为.答案:(-,2(10,
10、+)解析:f(x)的定义域为R,f(x)=3x2-6ax+3a,设f(x)=3x2-6ax+3a=0的两根为x1,x2,且x10,解得a1或a1或a0可得a0或a-1,由g(a)0可得-1a0,所以g(a)在a(-,-1)上是递增的,在a(-1,0)内是递减的,在a(1,+)上是递增的.因为g(-1)=2,g(1)=10,所以g(a)的值域为(-,2(10,+).创新应用组13.(2021江苏扬州中学模拟)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD,ABCD,ABBC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),BA
11、C=6,DPA=.(1)用表示直道DP的长度;(2)计划在ADP区域内种植观赏植物,在CDP区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.解:(1)过点D作DDAB,垂足为D,在RtABC中,ABBC,BAC=6,AB=3,BC=3,在RtADD中,AD=1,DD=3,AD=2,sinDAD=32,DAD=3.BAC=6,DAP=6,在ADP中,由正弦定理可得ADsin=DPsin6,DP=1sin,656.(2)在ADP中,由正弦定理可得ADsin=APsinADP,AP=2s
12、in56-sin,SAPD=12APPDsin=sin56-sin.又SADC=12ADDCsinADC=122232=3,SDPC=SADC-SAPD=3-sin56-sin,设三项费用之和为f(),则f()=sin56-sin2+3-sin56-sin1+1sin1=3+sin56-sin+1sin=12cos+1sin+332,656,f()=-12-cossin2,令f()=0,解得=23,当6,23时,f()0,函数f()是递增的,f()min=f23=23,即三项费用总和的最小值为23万元.14.(2021河南商丘高三联考)已知函数f(x)=(x+a)ln x-x(aR).(1)当
13、a=0时,是否存在唯一的x0(0,+),使得f(x0)=-1.如果存在,请证明你的结论;如果不存在,请说明理由.(2)讨论f(x)的极值点的个数.解:(1)存在.证明如下:f(x)的定义域为(0,+),当a=0时,f(x)=xlnx-x,f(x)=lnx,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)内是递减的,在(1,+)上是递增的,所以x=1是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点,且f(x)min=f(1)=-1,故存在唯一的x0=1,使得f(x0)=-1.(2)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=(x+a)1x+lnx-1=a+xlnxx,令h(x)=a+xln
14、x,则h(x)=lnx+1,当0x1e时,h(x)1e时,h(x)0,所以函数h(x)在0,1e内是递减的,在1e,+上是递增的,所以h(x)min=h1e=a-1e.当a1e时,h(x)min0,所以对任意x(0,+),h(x)h(x)min0,所以对任意x(0,+),f(x)0,f(x)在(0,+)上是递增的,所以f(x)无极值点;当a1e时,h(x)min=a-1e0,若a0,因为当x0,1e时,xlnx0,所以对任意x0,1e,h(x)0,所以存在x0(e-1,e-a+1),使得h(x0)=0,所以当x(0,x0)时,h(x)0,所以在(0,x0)内,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)内是递减的,在(x0,+)上是递增的,所以当a0时,f(x)有一个极小值点,无极大值点;当0a0,且h(x)在1e,+上是递增的,所以h(x)a-1e,+,所以f(x)在0,1e,1e,+各有一个零点,设为x1,x2,列表如下:x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当0a1e时,f(x)有两个极值点.综上,当a0时,函数f(x)有一个极值点;当0a1e时,函数f(x)有两个极值点;当a1e时,函数f(x)无极值点.
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