1、二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识梳理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项Tk1Cankbk，它表示展开式的第k1项二项式系数C(k0,1，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.常用结论1两个常用公式(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.2二
2、项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是(ab)n的展开式的第k项()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同()教材改编题1(x1)10的展开式的第6项的系数是()ACBCCCDC答案D解析T6Cx5(1)5，所以第6项的系数是C.2(多选)已知(ab)n的展开式中第5项的二项式
3、系数最大，则n的值可以为()A7B8C9D10答案ABC解析(ab)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，n7或n8或n9.3在(12x)10的展开式中，各项系数的和是_答案1解析令x1可得各项系数的和为(12)101.题型一通项公式的应用命题点1形如(ab)n(nN*)的展开式的特定项例1(1)(2022烟台模拟)(12)8展开式中x项的系数为()A28B28C112D112答案C解析(12)8展开式的通项公式为Tk1C(2)k.要求x项的系数，只需1，解得k2，所以x项系数为(2)2C4112.(2)(2022德州模拟)若nZ，且3n6，则n的展开式中的常数项为_答案4解析n的通项公式为T
4、k1CxnkkCxn4k，因为3n6，令n4k0，解得n4，k1，所以n的展开式中的常数项为4.命题点2形如(ab)m(cd)n (m，nN*)的展开式问题例2(1)(2022泰安模拟)(x32)6的展开式中x6的系数为()A6B10C13D15答案C解析由于6的展开式的通项为Tk1，令63，求得k2；令66，求得k0，故(x32)6的展开式中x6的系数为C2C15213.(2)(2022合肥模拟)二项式(12x)4的展开式中x3项的系数是70，则实数a的值为()A2B2C4D4答案D解析因为(12x)42(12x)4(12x)4，(12x)4的展开式的通项公式为Tk1C(2x)k(2)kCx
5、k，k0,1,2,3,4，所以2(12x)4展开式中x3项的系数是2(2)3C64，(12x)4展开式中x3项的系数是(2)2C，所以6470，解得a4.教师备选1(2022菏泽模拟)已知正整数n7，若(1x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为()A7B8C9D10答案D解析(1x)n的二项展开式中第k1项为Tk1C(1)kxk，又因为(1x)nx(1x)n(1x)n的展开式不含x5的项，所以xC(1)4x4C(1)6x60，Cx5Cx50，即CC，所以n10.2(2022烟台模拟)在(x22xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A60B30C15D12答案A解析由(x22xy)5(x22
6、x)y5，由通项公式可得Tk1C(x22x)5kyk，要求x5y2的系数，故k2，此时(x22x)3x3(x2)3，其对应x5的系数为C216.x5y2的系数为C660.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏跟踪训练1(1)(2021北京)4的展开式中常数项为_答案4解析4的展开式的通项Tk1C(x3)4kk(1)kCx124k，令k3得常数项为
7、T4(1)3C4.(2)(2022攀枝花模拟)(12x)5的展开式中，含x3的项的系数是()A112B48C48D112答案C解析由(12x)5(12x)5(12x)5，(12x)5展开式的通项公式为Tk1C(2x)k2kCxk，其中k0,1,2,3,4,5，(12x)5展开式中含x3项的系数为23C80，(12x)5展开式中含x3项的系数为25C32，所以(12x)5的展开式中，含x3的项的系数为803248.题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)(多选)(2022十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A二项式系数和为64B各项
8、系数和为64C常数项为135D常数项为135答案ABD解析在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则22n128，得n6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；6展开式的通项为Tk1C(3x)6kk，令6k0，得k4，因此展开式中的常数项为T5C(1)432135.故D正确(2)已知多项式(12x)(1xx2)3a0a1xa2x2a6x6，则a1_，a2a3a4a5a6_.答案123解析根据题意，令x1，则(12)(111)3a0a1a2a626，令x0，a0112，由于(12x)(1xx2)3a0a1xa2x2a
9、6x6，a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a12CC121，所以a2a3a4a5a6261223.命题点2系数与二项式系数的最值问题例46的展开式中二项式系数最大的项为第_项，系数最大的项为_答案4240x8y2解析因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项因为6的展开式的通项为Tk1Cy6kkC(2)kx2ky6k，所以展开式中系数最大的项为奇数项展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C(2)0，C(2)2，C(2)4，C(2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x8y2.教师备选1(多选)已知(12x)2022a0a1xa2x2a
10、2022x2022，下列命题中正确的是()A展开式中所有项的二项式系数的和为22022B展开式中所有奇次项系数的和为C展开式中所有偶次项系数的和为D.1答案ACD解析选项A，由二项式知，CCC(11)202222022，A正确；当x1时，有a0a1a2a20221，当x1时，有a0a1a2a3a2021a202232022，选项B，由上可得a1a3a5a2021，B错误；选项C，由上可得a0a2a4a2022，C正确；选项D，令x可得a00，又a01，所以1，D正确2(多选)已知(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a8(x2)8，则下列结论正确的有()Aa01Ba628C.Da0a2a4a
11、6a8128答案ACD解析对于A，取x2，得a01，A正确；对于B，(x3)81(x2)8展开式中第7项为C(1)2(x2)628(x2)6，即a628，B不正确；对于C，取x，得a08，则a0，C正确；对于D，取x3，得a0a1a2a3a7a80，取x1，得a0a1a2a3a7a8(2)8256，两式相加得2(a0a2a4a6a8)256，即a0a2a4a6a8128，D正确思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(abx)n的展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n的
12、展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1)跟踪训练2(1)已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|等于()A1B243C121D122答案B解析令x1，得a5a4a3a2a1a01，令x1，得a5a4a3a2a1a0243，得2(a4a2a0)242，即a4a2a0121.，得2(a5a3a1)244，即a5a3a1122.所以|a0|a1|a5|122121243.(2)(多选)(2022济南模拟)在6的展开式中，下列说法正确的是()A常数项为160B第4项的二项式系数最大C第3项的系数最大D所有项的系数和为64答案BC解析展开式的通项为Tk1C6k(
13、x)k26k(1)kCx2k6，由2k60，得k3，所以常数项为23(1)3C160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x1，得61，所有项的系数和为1，D错误题型三二项式定理的综合应用例5(1)设aZ，且0a13，若512021a能被13整除，则a等于()A0B1C11D12答案B解析因为aZ，且0a13，所以512021a(521)2021a，C522021C522020C522019C52Ca，因为512021a能被13整除，结合选项，所以Ca1a能被13整除，所以a1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值
14、是()A1.23B1.24C1.33D1.34答案D解析1.056(10.05)6CC0.05C0.052C0.053C0.05610.30.03750.00250.0561.34.教师备选已知n为满足SnCCCC(n3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为()A第6项B第7项C第11项D第6项和第7项答案B解析SnCCCCn(11)27C(91)9n19(98C97C)n2，n3，S能被9整除的正数n的最小值是n29，n11.11的展开式中的通项公式为Tk1Cx11kk(1)kCx112k，只考虑k为偶数的情况，由T5Cx3，T7Cx1，T9Cx5，可知系数最大的项为第
15、7项思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11nC11n1C11n2C111除以13的余数是()A3B2C10D11答案C解析11nC11n1C11n2C111C11nC11n1C11n2C11C2(111)n212n2(131)n2C13nC13n1(1)n1C13(1)nC2，因为n为奇数，则上式C13nC13n1(1)n1C133C13nC13n1(1)n1C131310，所以
16、11nC11n1C11n2C111除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A0.940B0.941C0.942D0.943答案B解析(0.99)6(10.01)6C1C0.01C0.012C0.013C0.01610.060.00150.000020.0160.941.课时精练1(2022济南模拟)6的展开式中，含x4项的系数为()A4B6C10D15答案B解析6的展开式通项为Tk1Cx6kkCx62k，令62k4，解得k1，因此，展开式中含x4项的系数为C6.2(2022武汉部分重点中学联考)在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是(
17、)A.BC28D28答案B解析展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n12，展开式的通项为Tk1C12kk，若为常数项，则12k0，所以k9，得常数项为T10C(1)9129.3(2022邯郸模拟)(x2x)(1x)6的展开式中x3项的系数为()A9B9C21D21答案A解析展开式中x3项的系数为CC9.4(2022芜湖质检)已知(xm)(x2)5a0a1xa2x2a6x6，其中m为常数，若a430，则a0等于()A32B32C64D64答案A解析由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数m乘以(x2)5展开式中的x4项
18、得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4C22mC230，解得m1，再令x0，得a02532.5(2022大连模拟)(axy)(xy)4的展开式中x3y2的系数为2，则实数a的值为()AB1C1D.答案D解析化简得(axy)(xy)4ax(xy)4y(xy)4，(xy)4的展开式的通项公式Tk1Cx4kyk，当k2时，ax(xy)4的展开式中x3y2的系数为Ca6a，当k1时，y(xy)4的展开式中x3y2的系数为C4，综上，(axy)(xy)4的展开式中x3y2的系数为6a42，a.6已知在(2x1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则CCCC的值为()A
19、28B281C27D271答案B解析设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知得，BA38，令x1，得a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n，(3)n38(3)8，n8，由二项式系数性质可得CCCC2nC281.7(多选)(2022邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是()A2，n,10成等差数列B各项系数之和为64C展开式中二项式系数最大的项是第3项D展开式中第5项为常数项答案ABD解析由n的二项式系数之和为2n6
20、4，得n6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x1，62664，则6的各项系数之和为64，B正确；6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；6的展开式中的第5项为C(5x)24152581为常数项，D正确8(多选)(2022烟台模拟)已知(2x)6a0a1xa2x2a6x6，则下列选项正确的是()Aa3360B(a0a2a4a6)2(a1a3a5)21Ca1a2a6(2)6D展开式中系数最大的为a2答案BD解析(2x)6的展开式通项为Tk1C26k(x)kC()k26kxk，对于A，令k3，则a3C23()3480，A错误；对于B，令x1，则a0a1a6(2)6；令x1，则
21、a0a1a2a6(2)6，(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2(a0a1a2a6)(a0a1a2a6)(2)(2)61，B正确；对于C，令x0，得a026，a1a2a6(2)626，C错误；对于D，a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a02664，a2C243720，a4C2232540，a63327，展开式中系数最大的为a2，D正确9(2021天津)在6的展开式中，x6的系数是_答案160解析6的展开式的通项为Tk1C(2x3)6kk26kCx184k，令184k6，解得k3，所以x6的系数是23C160.10(2022济宁模拟)已知n的展开式中各项的二项式系数的和为
22、128，则这个展开式中x3项的系数是_答案84解析依题意，2n128，解得n7，7的展开式的通项为Tk1Cx7kk(2)kCx72k(kN，k7)，由72k3得k2，所以所求展开式中x3项的系数是(2)2C484.11(2022温州模拟)若n的展开式中共有7项，则常数项为_(用数字作答)答案240解析因为n的展开式中共有7项，所以n17，可得n6，所以6展开式的通项为Tk1令6k0，可得k4，所以常数项为C241516240.12(2021浙江)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1_，a2a3a4_.答案510解析(x1)3展开式的通项Tr1Cx3r(1)r，(
23、x1)4展开式的通项Tk1Cx4k，则a1CC145；a2C(1)1C3；a3C(1)2C7；a4C(1)3C0.所以a2a3a437010.13已知n为正整数，若1.1510n，n1)，则n的值为()A2B3C4D5答案C解析因为1.1555C0C1C2C3C4C51323，而2232222.1，所以21.1552.1，因此41.15100，pq1，设f(k)Cpkq2nk，其中kN，k2n，则()A.(k)1B.f(k)2npqC若np4，则f(k)f(8)D.(2k)(2k1)答案AC解析(k)pkq2nk(qp)2n1，A正确；kC2n2nC，所以f(k)Cpkq2nknCpkq2nk2npqpk1q2n1k2nppkq2n1k2np(qp)2n12np2npq(除非p0)，B错；设f(m)是f(k)中最大项，即注意到，又np4，不等式组可解为8qm8p，所以m8，所以f(k)f(8)，C正确；例如n2时，p，q，(2k)46224，(2k1)，D错误
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