1、概率、统计与其他知识的交汇问题题型一概率、统计与数列的综合问题例1为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为.每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分总得分记为X分(1)若m2，求分数X的分布列与均值(若结果不为整数，用分数表示)(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1).求G(2)；问是否存在R，使得G(n)G(n1)为等比
2、数列，其中nN*，n2？若有，求出；若没有，请说明理由解(1)进行一次试验，获得0分的概率为，获得1分的概率为，获得2分的概率为，进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(X4)，P(X3)2，P(X2)2，P(X1)2，P(X0).所以分数X的分布列为X01234PE(X)01234.(2)G(2)，据题意有，G(n)G(n2)G(n1)，其中n3，设G(n)G(n1)G(n2)G(n1)G(n1)G(n2)G(n1)G(n1)G(n2)比较系数得，解得，所以G(n)G(n1)是公比为的等比数列，其中nN*，n2，.思维升华高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因
3、此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键跟踪训练1(2022大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(nN*)的概率记为pn，求pn的最大值解(1)设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，则P(Y2)P(Z2)，P(Y3)P(Z3)，P(Y4)P(Z4)，所以P(YZ)，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概
4、率为.由知X的所有可能取值为4,5,6,7,8，所以P(X4)，P(X5)，P(X6)，P(X7)，P(X8)，随机变量X的分布列为X45678PE(X)456786.(2)由题意得p1，p2，当n3时，pnpn1pn2，pnpn1(pn1pn2)(pn2pn3)n2(p2p1)n，所以pnn(n3)，因为p1，p2，所以pnn(nN*)，当n为奇数时，n0，pn，且数列pn为递减数列，所以pn的最大值为.题型二概率、统计与函数的综合问题例2(2021新高考全国)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代
5、繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(Xi)pi(i0,1,2,3)(1)已知p00.4，p10.3，p20.2，p30.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p1，当E(X)1时，p1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义(1)解E(X)00.410.320.230.11.(2)证明设f(x)p3x3p2x2(p11)xp0，因为p3p2p1p01，故f(x)p3x3p2x2(p2p0p3)xp0，若E(X)1，则p12p
6、23p31，故p22p3p0.f(x)3p3x22p2x(p2p0p3)，因为f(0)(p2p0p3)0，f(1)p22p3p00，故f(x)有两个不同零点x1，x2，且x100；x(x1，x2)时，f(x)f(x2)f(1)0，故1为p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，若x21，因为f(1)0且在(0，x2)上单调递减，故1为p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，综上，若E(X)1，则p1.若E(X)1，则p12p23p31，故p22p3p0.此时f(0)(p2p0p3)0，故f(x)有两个不同零点x3，x4，且x30x40；x(x3，x4)时，f(x)0，故f(x)在(，
7、x3)，(x4，)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减，而f(1)0，故f(x4)0，故f(x)在(0，x4)上存在一个零点p，且p1.所以p为p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，此时p1时，p1时，n，e为自然对数的底数，e2.71828.解(1)30,7.(2)X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7.P(X2)2，P(X3)C3，P(X4)C4，P(X5)C54，P(X6)P(X7)C6，X的分布列如下：X234567P则E(X)234567.(3)乙经败者组进入决赛的概率为f(t)C(1t)t5，0t1，f(t)4t4(56t)，当0t0，f(t)在上单调递增，当t1时，f
8、(t)0，f(t)在上单调递减，得f(t)的最大值为f4566，由参考知识得6，故f0，设f(x)ln xx，则f(x)，当0x0，当x3时，f(x)0，f(x)在(0,3)上单调递增，在(3，)上单调递减，由于f(1)0，f(2)ln 20.026 40，f(4)ln 40.053 00，f(5)ln 50.057 30，故k的取值范围为2k4且kN*.2(2022泉州模拟)某公司为了解年宣传费x (单位：十万元)对年利润y (单位：十万元)的影响，统计甲、乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“”，反之用“”
9、号记录年份2011201220132014201520162017201820192020甲1甲2甲3乙1乙2(1)根据以上信息，填写下面22列联表，依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为宣传费是否产生利润效益与地区有关？产生利润效益未产生利润效益合计甲地乙地合计(2)现将甲、乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择和lnx两个模型拟合甲、乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，得到以下表格信息：经验回归方程残差平方和(yii)2总偏差平方和(yi)2甲地0.2820.0321.021乙地1.31.8lnx0.14211.614根据上述信息，某同学得出“因为
10、甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释；(3)该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲、乙两地的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大参考公式：决定系数R21.附：0.050.0250.010x3.8415.0246.6352，nabcd.解(1)根据题意填写列联表如下表所示：产生利润效益未产生利润效益合计甲地24630乙地101020合计341650零假设为H0：宣传费是否产生利润效益与地区无关，根据列联表中的数据，经计算得到24.9633.841x0.05
11、，依据小概率值0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为宣传费是否产生利润效益与地区有关(2)对于甲地，其模型决定系数R110.9687，对于乙地，其决定系数R110.9878，RR，乙地模型的拟合程度更高，故“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断是不正确的(3)设投入甲地的年宣传费为x(单位：十万元)，则投入乙地的费用为(3.6x)(单位：十万元)，设两地总的年利润为(x)(单位：十万元)，则(x)0.2821.31.8ln(3.6x)21.8ln(3.6x)1.02,0x3.6，(x)，当01.2，即0x0，(x)单调递增，当1.2，
12、即x1.44时，(x)0，(x)单调递减，当x1.44时，(x)取得最大值，最大值为1.8ln 2.163.42.故分配给甲地14.4万元，分配给乙地21.6万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为(18ln 2.1634.2)万元3某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0pE6，戴口罩很有必要4(2022济南模拟)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k1(kN*)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0p时，pk1pk0，pk单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当p时，pk1pk0，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为y5apk，所以当p时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当p时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润
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