1、直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题知识梳理1直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrdr1r2外切dr1r2相交|r1r2|dr1r2内切d|r1r2|内含d|r1r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|2.(2)代数法：设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|.常用结论1圆的切线方程常用结论
2、(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到(2)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)思考辨析判断
3、下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(4)在圆中最长的弦是直径()教材改编题1直线yx1与圆x2y21的位置关系为()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心为(0,0)，到直线yx1即xy10的距离d，而01，但是圆心不在直线yx1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心2过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2y26y0于A，B两点，则弦AB的长为()A.B2C2D4答案D解析过点(0,1)且倾斜角为的直线l：y1
4、x，即xy10.圆x2y26y0，即x2(y3)29，圆心坐标为(0,3)，半径r3，圆心到直线l的距离d1，直线被圆截得的弦长|AB|24.3若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则常数a_.答案2或0解析两圆的圆心距d，由两圆相切(外切或内切)，得51或51，解得a2或a0.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1直线kxy2k0与圆x2y22x80的位置关系为()A相交、相切或相离B相交或相切C相交D相切答案C解析方法一直线kxy2k0的方程可化为k(x1)(y2)0，该直线恒过定点(1,2)因为12222180，所以点(1,2)在圆x2y22x80的内部，所以直线k
5、xy2k0与圆x2y22x80相交方法二圆的方程可化为(x1)2y232，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kxy2k0的距离为23，所以直线与圆相交思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交命题点2弦长问题例2(1)(多选)直线ykx1与圆C：(x3)2(y3)236相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A6B8C12D16答案BC解析因为直线ykx1过定点(0，1)，故圆C的圆心C(3,3)到直线ykx1的距离的最大值为5.又圆C的半径为6，故
6、弦长AB的最小值为22.又当直线ykx1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，故|AB|2，12(2)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，综上，直线l的方程为x0或3x4y120.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方
7、程联立方程组，根据弦长公式求弦长(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.命题点3切线问题例3(2022衡水模拟)已知直线l：xay10是圆C：x2y26x2y10的对称轴，过点A(1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A1B2C4D8答案C解析已知直线l：xay10是圆C：x2y26x2y10的对称轴，圆心C(3,1)，半径r3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3a10，故a2，所以点A(1，2)，|AC|5，|AB|4.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，
8、然后令dr，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x2)2y24，点A是直线xy20上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为_答案2，4)解析由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r2.连接AC，PC，QC(图略)，设|AC|x，则x2.AP，AQ为圆C的切线，CPAP，CQAQ，|AP|AQ|.AC是PQ的垂直平分线，|PQ|24.x2，11，2|PQ|
9、4，即线段PQ的长的取值范围为2，4)教师备选1(多选)(2022深圳模拟)设直线l：ykx1(kR)与圆C：x2y25，则下列结论正确的为()Al与C可能相离Bl不可能将C的周长平分C当k1时，l被C截得的弦长为Dl被C截得的最短弦长为4答案BD解析对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当k1时，直线l的方程为xy10，圆心C到直线l的距离为d，所以直线l被C截得的弦长为23，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的距离为d1，所以直线
10、l被C截得的弦长为24，D选项正确2过点P的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，当ACB最小时，此时直线l的方程为_，ACB_.答案xy30解析圆C：(x1)2y24的圆心为C(1,0)，验证知点P在圆内，当ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，因为CP的斜率kCP，所以直线AB的斜率为，所以直线l的方程为y，即xy30.此时|CP|1，所以ACP，ACB.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果跟踪训练1(1)(多选)(2021新高考全国)已知直线l：axby
11、r20与圆C：x2y2r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d，若点A(a，b)在圆C上，则a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2b2r20，即a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相切
12、，故D正确(2)(2021北京)已知圆C：x2y24，直线l：ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于()A2BCD答案C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d，则弦长为2，则当k0时，弦长取得最小值为22，解得m.(3)由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_答案解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离设圆心到直线yx1的距离为d，则d2，|PM|的最小值
13、为2，此时|PQ|.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2022长沙模拟)若圆C1：(x1)2(ya)24与圆C2：(x2)2(y1)2a2相交，则正实数a的取值范围为()A(3，) B(2，)C.D(3,4)答案A解析|C1C2|，因为圆C1：(x1)2(ya)24与圆C2：(x2)2(y1)2a2相交，所以|a2|3.(2)圆C1：x2y22x10y240与圆C2：x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程为_，公共弦长为_答案x2y402解析联立两圆的方程得两式相减并化简，得x2y40，此即两圆公共弦所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，圆C1的圆心坐标为(
14、1，5)，半径r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长为2.教师备选已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得
15、公共弦的长为22.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到跟踪训练2(1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离答案B解析由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，圆M，圆N的圆心距|MN|小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交(2)(2022长沙模拟)已知圆C1：x2y24
16、x2y40，圆C2：22，则这两圆的公共弦长为()A5B2C2D1答案C解析由题意知圆C1：x2y24x2y40，圆C2：x2y23x3y10，将两圆的方程相减，得xy30，所以两圆的公共弦所在直线的方程为xy30.又因为圆C1的圆心为(2,1)，半径r3，所以圆C1的圆心到直线xy30的距离d2.所以这两圆的公共弦的弦长为222.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|PB|.则1时，动点P的轨迹为直线；当0且1时，动点P的
17、轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证明：设|AB|2m(m0)，|PA|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(m，0)，B(m，0)又设P(x，y)，则由|PA|PB|得，两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12)当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当0且1时，2y2，轨迹为以点为圆心，为半径的圆例1(1)已知平面直角坐标系中，A(2,0)，B(2,0)，则满足|PA|2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为_答案解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，整理得2y2，所以点P的轨迹的圆心坐标为.(2)已知圆O：x2y21和点A，若
18、定点B(b，0)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则_，MAB面积的最大值为_答案2解析设点M(x，y)，由|MB|MA|，得(xb)2y22，整理得x2y2x0，所以解得如图所示，SMAB|AB|yM|，由图可知，当|yM|1，即M的坐标为(0,1)或(0，1)时，SMAB取得最大值，故MAB的面积的最大值为1.例2如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)联立得圆心为C(
19、3,2)切线的斜率存在，设切线方程为ykx3.圆心C到切线的距离dr1，得k0或k.故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)设点M(x，y)，由|MA|2|MO|，知2，化简得x2(y1)24.即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切故1|CD|3，其中|CD|.解得0a.即圆心C的横坐标a的取值范围是.课时精练1圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x3)2(y2)24的公切线的条数是()A1B2C3D4答案C解析圆C1：(x1)2(y2)24的圆心为C1(1,2)，半径为2，圆C2：(x3)2(y2)24的圆心
20、为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|422，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.2过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A3x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40答案C解析当斜率不存在时，直线x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，得切线方程为4x3y40.综上，得切线方程为x2或4x3y40.3(2022沧州模拟)若圆C：x216xy2m0被直线3x4y40截得的弦长为6，则m等于()A26B31C39D43答案C解析将圆化为(x8)2y264m
21、(m1”是曲线C表示圆的充要条件B当m3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C“m3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D当m2时，曲线C与圆x2y21有两个公共点答案C解析对于A，曲线C：x2y24x2my50(x2)2(ym)2m21，曲线C要表示圆，则m210m1，所以“m1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，m3时，直线l：xy10，曲线C：(x2)2(y3)226，圆心到直线l的距离d5，所以弦长222，故B错误；对于C，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离dm3，所以“m3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当m2时，
22、曲线C：(x2)2(y2)23，其圆心坐标为(2,2)，r，曲线C与圆x2y21的圆心距为21，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误6(多选)(2022海口模拟)已知圆O1：x2y22x30和圆O2：x2y22y10的交点为A，B，则()A圆O1和圆O2有两条公切线B直线AB的方程为xy10C圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|AB|D圆O1上的点到直线AB的最大距离为2答案ABD解析对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得2x2y20，即得公共弦AB的方程为xy10，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2
23、中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：xy10的距离为，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2，D正确7(2021天津)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2(y1)21相切于点B，则|AB|_.答案解析设直线AB的方程为yxb，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2(y1)21相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则1，解得b1或b3，所以|AC|2，因为|BC|1，故|AB|.8若A为圆C1：x2y21上的动点，B为圆C2：(x3)2(y4)24上的动点，则线段AB长度的最大值是_答案8解析圆C1：x2y21的圆心为C1(0,0)
24、，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)24的圆心为C2(3，4)，半径r22，所以|C1C2|5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|r1r25128.9已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程解(1)根据题意，圆C：x2y28y120，则圆C的标准方程为x2(y4)24，其圆心为(0,4)，半径r2，若直线l与圆C相切，则有2，解得a.(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2d2r2，即2d24，解得d，则有d，解得a1或a7，则直
25、线l的方程为xy20或7xy140.10已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在
26、圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.11如果圆C：(xa)2(ya)28上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是()A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D(3，11,3)答案A解析到原点的距离为的点的轨迹方程为圆C1：x2y22，因此圆C：(xa)2(ya)28上总存在两个点到原点的距离均为，转化为圆C1：x2y22与圆C：(xa)2(ya)28有两个交点，两圆的圆心和半径分别为C1(0,0)，r1，C(a，a)，r2，rr1|C1C|r1r，|a|
27、3，解得实数a的取值范围是(3，1)(1,3)12已知圆C：(x1)2(y2)29上存在四个点到直线l：xyb0的距离等于2，则实数b的取值范围是()A(，15)(15，)B(15，15)C(，1)(1，)D(1，1)答案D解析由C：(x1)2(y2)29知圆心C(1,2)，半径为3，若圆C：(x1)2(y2)29上存在四个点到直线l：xyb0的距离等于2，则点C到直线l：xyb0的距离d1，1，1b4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，4510，故A正确易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，41，所以ADB45.所以DAB为锐角过点B作BEAA于点E，因为|AB|2，所以|BE|2，所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，所以不能使目标球B向C(8，4)处运动
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有