1、圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一探索性问题例1(2022南通模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且3.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得QFM2QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设双曲线C的焦距为2c.由双曲线C的离心率为2知c2a，所以ba，从而双曲线C的方程可化为1.由题意知，l：yx，联立得2x22x63a20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为(2)242(63a2)7224a20，所以
2、x1x2，x1x23a2.因为3，所以x1x2y1y2x1x2(x1)(x2)3，于是2x1x2(x1x2)6263，解得a1，所以双曲线C的标准方程为x21.(2)假设存在点M(t,0)(tb0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为1.(2)假设满足条件的直线l存在，由E(0，2)，F(，0)，得kEF，因为点F为EAB的垂心，所以ABEF，所以kAB，设直线l的方程为y
3、xt，代入1，得7x26tx6(t24)0，(6t)2476(t24)96t26720，即t0，所以直线l的方程为yx.思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意跟踪训练1(2022南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y24x，经过P(t,0)(t0)的直线l与C交于A，B两点(1)若t4，求AP长度的最小值；(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是
4、否存在t，使得4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解(1)设A，由P(4,0)，可得|AP|22yy16(y8)21212，当y02时，|AP|取得最小值2.(2)设直线AB的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得y24my4t0，即有y1y24m，y1y24t，设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3,0)，N(x4,0)，所以Q的轨迹方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.x1x2m(y1y2)2t4m22t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2mt(y1y2)t24m2t4m2tt2t2.所以Q的轨迹方程化为x2(4m22t)xt2
5、y24my4t0.令y0，得x2(4m22t)xt24t0.所以上式方程的两根分别为x3，x4，则x3x4t24t.由x3x44，即有t24t4，解得t2.所以存在t2，使得4.题型二圆锥曲线的综合问题例2(2022梅州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线xy210与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围解(1)设椭圆C：1的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆
6、(xc)2y2a2，所以圆心到直线xy210的距离da，又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a2c，bc，解得a2，b，c1，所以椭圆的标准方程为1.(2)设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，因为O为BMN的重心，则|BO|2|OD|OA|，所以D，即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处由|OB|2，得|OD|1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有两式相减得0，因为D为线段MN的中点，所以x
7、1x2m，y1y2n，所以k，所以直线MN的方程为y，即6mx8ny4n23m20，所以原点O到直线MN的距离d.因为1，所以3m2124n2，所以d.因为0n23，所以32，所以，所以3d0)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足(0，2)(1)求抛物线C的方程；(2)已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|，|，|成等差数列，求该数列的公差解(1)由题设知F，设点P(x0，y0)，由(0，2)，即(0，2)，x0，y02，代入y22px，得4p2，又p0，p2，则抛物线C的方程为y24x.(2)设直线l：y2xm，则消去y得4x2(4m4)xm20，满足(4m4)216m232m
8、160，即m0)的焦点是椭圆C2：1(ab0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|8，离心率e.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记OEF和OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1S2313？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题知，a4，所以c2，所以b2，p4.所以抛物线C1的方程为y28x，椭圆C2的方程为1.(2)由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xmy4.则y28my320.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y28m，y1y23
9、2.所以，因为直线OC的斜率为，所以直线OC的方程为yx.由得y21，则y1，同理可得y1，所以yy1，所以yy，要使S1S2313，只需2，解得m1，所以存在直线l：xy40符合条件课时精练1(2022东三省四市联考)已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2|BT|2为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由解(1)设P点坐标为(x，y)，则kPMkPN.，43(x1)(x1)0，1，曲线C的方程为1(x1)(2)假设存在k使得|AT|2|BT|2为定值设A(x1，
10、y1)，B(x2，y2)，设直线AB方程为xmyn，代入3x24y212，得(3m24)y26mny3n2120.36m2n24(3n212)(3m24)48(3m24n2)0，y1y2，y1y2.由弦长公式得|AT|2(m21)y，|BT|2(m21)y，|AT|2|BT|2(m21)(yy)(m21)(y1y2)22y1y2(m21)6(3m24)n24(3m24)为定值，则3m240，m，kAB.所以存在k时使得|AT|2|BT|2为定值2已知双曲线C：1(a0，b0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l过双曲线C的右焦
11、点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得a1，所以双曲线C：x21，所以渐近线方程为bxy0，设M(x0，y0)，则，即，因为M(x0，y0)在双曲线上，所以x1，即b2xyb2，所以，解得b23，所以双曲线C的方程为x21.(2)假设存在D(t,0)，使得PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，则可得kPDkQD0，F(2,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，直线l：yk(x2)，由可得(3k2)x24k2x4k230，所以x1x2，x1x2，所以kP
12、DkQD0，即k(x12)(x2t)k(x22)(x1t)0恒成立，整理可得k2x1x2(t2)(x1x2)4t0，所以k0，即2(t2)4t0，所以8k264k2(t2)4t(k23)0，所以612t0，解得t，当直线l的斜率不存在时，t也满足题意所以存在点D，使得PDQ的平分线与x轴或y轴垂直3(2022承德模拟)已知M(2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x22py(p0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A)(1)求曲线C1的方程；(2)是否存在不过原点的
13、直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由解(1)设动点P(x，y)(x2)，则kPM，kPN.kPMkPN，即，即y21(x2)，曲线C1的方程为y21(x2)(2)设A(x1，y1)(x10，y10)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，显然直线l存在斜率，设l：ykxm(k0，m0)，由得(14k2)x28kmx4m240，16(4k2m21)0，x1x2，x0.又由得x22p(kxm)，即x22pkx2pm0，x1x02pm，x12pmx1p，k0，即x24，p224，p2，设22t24，当且仅当2k，即k时取等号，则p2，当t4时，220，当k，即t
14、4时，p2取得最大值，最大值为，即p.此时A，满足0，故存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为.4(2022九江模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：x22py(p0)，P为直线yx2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.当P在y轴上时，OAOB.(1)求抛物线C的方程；(2)求点O到直线AB距离的最大值解(1)P为直线yx2上的动点，当P在y轴上时，则P(0，2)，由x22py(p0)，得y(p0)，所以y(p0)，设A，B，x10，x20，所以x1x22k，x1x22m，所以2，即km2，满足0，所以点O到直线AB的距离为d，令t，则t，令t0，得k2或k，所以当k(2，)时，t0，t单调递增，当k时，t0，t单调递减，当k时，t4，当k时，t0且t0，所以tmax4，所以dmax，所以点O到直线AB距离的最大值为.
