1、圆锥曲线中范围与最值问题题型一范围问题例1(2022临沂模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，以PF1为直径的圆E：x22过焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AMAN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围解(1)在圆E的方程中，令y0，得x23，解得x，所以F1，F2的坐标分别为(，0)，(，0)因为E，又因为|OE|F2P|，OEF2P，所以点P的坐标为，所以2a|PF1|PF2|24，得a2，b1，即椭圆C的方程为y21.(2)右顶点为A(
2、2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM的方程为yk(x2)，由MN与x轴不垂直，故k1.由得(14k2)x216k2x16k240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2,0)，则由根与系数的关系可得2x1，得x1，y1k(x12)，因为AMAN，所以直线AN的方程为y(x2)，用替换k可得，x2，y2，所以点Q坐标为，所以直线AQ的斜率k1，直线MN的斜率k2，所以k1k2，因为k20且k21，所以2k21215，所以00，b0)的左焦点F1的动直线l与的左支交于A，B两点，设的右焦点为F2.(1)若ABF2可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程；(2)若存
3、在直线l，使得AF2BF2，求的离心率的取值范围解(1)依题意得|AF1|2，|AF2|4，|F1F2|2.2a|AF2|AF1|2，a1，2c|F1F2|2，c，b2c2a22，此时的标准方程为x21.(2)设l的方程为xmyc，与1联立，得(b2m2a2)y22b2cmyb40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由AF2BF2，0，(x1c)(x2c)y1y20，(my12c)(my22c)y1y20(m21)b44m2c2b24c2(b2m2a2)0(m21)b44a2c2(m21)14a2c2(c2a2)2，c4a46a2c20e46e210，又e1，1e23
4、2，1e1，又A，B在左支且l过F1，y1y20，0m2m211，4a25.综上所述，2，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a，c1，b1，则点Q的轨迹方程C：x21.(2)由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm(k0)，联立方程消去y得(k22)x22kmxm220，8k28m2160，解得m2k22，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以kDAkDB，化简得.当mk时，直线l的方程为ykxk恒过(1,0)，不符合题意；当mk时，得mk，直线l的方程为ykxk恒过，由m2k22得k2b0)过点A，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程
5、；(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点求MON的面积的最大值解(1)依题意得1，而b1，则11a22，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，l的方程为ykx2，由得(2k21)x28kx60，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则有(8k)24(2k21)616k2240k2，即k，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|，而原点O到直线l：kxy20的距离d，MON的面积S|MN|d，令t2k2t23(t0)，S，因为t24，当且仅当t，即t2时取
6、“”，此时k2，即k，符合要求，从而有S，故当k时，MON的面积的最大值为.教师备选(2022厦门模拟)设椭圆：1(ab0)的离心率为，点A，B，C分别为的上、左、右顶点，且|BC|4.(1)求的标准方程；(2)点D为直线AB上的动点，过点D作lAC，设l与的交点为P，Q，求|PD|QD|的最大值解(1)由题意得2a|BC|4，解得a2.又因为e，所以c，则b2a2c21.所求的标准方程为y21.(2)方法一由(1)可得A(0,1)，B(2,0)，C(2,0)，则kAC，直线AB的方程为x2y20，设直线l的方程为yx.联立消去y，整理得，x22x2220.由0，得0，解得0，故x，于是y.点
7、P的坐标是.(2)由(1)可得直线AP的方程是xy60，点B(6,0)设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得m2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，得d2(x2)2y2x24x420x2215，由于6x6，由f(x)215的图象可知，当x时，d取最小值，且最小值为.课时精练1已知双曲线1(a0，b0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且0，求|OP|2|OQ|2的最小值解(1)因为e2，所以c2a，b2c2a23a2.所以双曲线的方程为1，即3x2y23
8、a2.因为点M(，)在双曲线上，所以1533a2，所以a24.所以所求双曲线的方程为1.(2)设直线OP的方程为ykx(k0)，则直线OQ的方程为yx，由得所以|OP|2x2y2.同理可得|OQ|2，所以.设|OP|2|OQ|2t，则t222224，所以t24，即|OP|2|OQ|224(当且仅当|OP|OQ|2时取等号)所以当|OP|OQ|2时，|OP|2|OQ|2取得最小值24.2(2022阳泉模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，当P是椭圆C的上顶点时，F1PF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2，与椭圆
9、C的另一个交点为Q.若存在T(t,0)，使得|TP|TQ|，求t的取值范围解(1)由题意可知解得故椭圆C的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为N(x0，y0)，直线PF2的斜率为k，由(1)设直线PQ的方程为yk(x1)当k0时，t0符合题意；当k0时，联立得(12k2)x24k2x2k220，16k44(12k2)(2k22)8k280，x1x2，x0，y0k(x01)，即N.|TP|TQ|，直线TN为线段PQ的垂直平分线，TNPQ，即kTNk1.k1，t.k20，0 ,22，0b0)过点A(0，2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准
10、方程；(2)过点P(0，3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y3于点M，N，若|PM|PN|15，求k的取值范围解(1)因为椭圆过A(0，2)，故b2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4，故2a2b4，即a，故椭圆的标准方程为1.(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x20，故直线AB：yx2，令y3，则xM，同理xN.直线BC：ykx3，由可得(45k2)x230kx250，故900k2100(45k2)0，解得k1.又x1x2，x1x2，故x1x20，所以xMxN0.又|PM|PN|xMxN|5|k|，故5|k|15，即|k|3，综上，3k1或10)，则kAM2t，所以lAM：y2t22t(x2t)，即y2tx2t2，所以M(t,0)，又kOAt，所以kBC，所以lBC：y0(xt)，即yx1，所以直线BC过定点(0，1)(2)解联立方程整理得x2x20，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x22，则(x1t，y1)(x2t，y2)(x1t)(x2t)y1y2x1x2t(x1x2)t2xx1t22，所以t21，又由|AD|t，|AO|2t，所以|AD|AO|t2t2，因为2t22，所以当2t22，即t1时，|AD|AO|的最小值是6.
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