1、平面向量中的综合问题题型一平面向量在几何中的应用例1(1)在ABC中，AC9，A60，D点满足2，AD，则BC的长为()A3B3C3D6答案A解析因为2，所以()，设ABx，则2，得37x2x9cos6092，即2x29x1260，因为x0，故解得x6，即AB6，所以BC3.(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2BD22(AB2AD2)证明取，为基底，设a，b，则ab，ab，2(ab)2a22abb2，2(ab)2a22abb2，上面两式相加，得222(a2b2)，AC2BD22(AB2AD2)思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题跟踪训练1(
2、1)(2020全国)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若1，则点C的轨迹为()A圆B椭圆C抛物线D直线答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设点A，B的坐标分别为(a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，则(xa，y)，(xa，y)，所以(xa)(xa)yyx2y2a21，整理得x2y2a21.因此点C的轨迹为圆(2)(多选)在四边形ABCD中，(6,8)，且，则下列结论成立的是()A四边形ABCD为菱形BBAD120C|10D|10答案ABD解析(6,8)，则四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量，mnp，则(mn)2p2，m22mnn2p2，12mn11，则mnc
3、osm，n，所以m，n120，因此由知BAD120，且AC是BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|10，所以|10，|10.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2(2022广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若xy(x0，y0)，则的最大值为()A.B.C1D2答案A解析设BD，AE交于O，因为DEAB，所以AOBEOD，所以2，所以AO2OE，则，所以xyxy，因为O，F，B三点共线，所以xy1，即23x2y，所以，因为x0，y0，所以4y24，当且仅当4y，即y时等号成立，此时x，所以.
4、命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3(2020新高考全国)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2,6) B(6,2)C(2,4) D(4,6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(1，)设P(x，y)，则(x，y)，(2,0)，且1x3.所以(x，y)(2,0)2x(2,6)命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知向量a(cos，sin)，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案4解析方法一由题意得|a|1，|b|2，absincos2sin，所以|2ab|24|a|2|b|
5、24ab412228sin88sin.所以|2ab|2的最大值为88(1)16，故|2ab|的最大值为4.方法二因为a(cos，sin)，b(，1)，所以2ab(2cos，2sin1)，所以|2ab|.故|2ab|的最大值为4.方法三由题意得|2ab|2|a|b|2124，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2ab|的最大值为4.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)(2)利用基本不等式求最值(范围)(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值跟踪训练2(1)(2022苏州模拟)已知ABC为等边三角形，AB2，A
6、BC所在平面内的点P满足|1，则|的最小值为()A.1B21C21D.1答案C解析因为|2222|2|22|cos12，所以|2，由平面向量模的三角不等式可得|()()|21.当且仅当与方向相反时，等号成立因此|的最小值为21.(2)(2022广东实验中学模拟)如图，在ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，若，则_，22的最小值是_答案2解析因为在ABC中，所以2.由向量定比分点公式得，即.因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设x(0x1)所以，对比，可得，.得2；代入，可得2222(0x1)，根据二次函数性质知当x时，(22)min2.课时精练1(2022杭州模拟)边长为2的正A
7、BC内一点M(包括边界)满足：(R)，则的取值范围是()A.B.C.D2,2答案B解析因为点M在ABC内部(包括边界)，所以0，由()222.2设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹经过ABC的()A内心B外心C垂心D重心答案C解析(|).则0，即0，故APBC，即点P的轨迹经过ABC的垂心3(2022新余模拟)已知ABC是顶角A为120，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()ABCD1答案A解析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B(，0)，C(，0)，
8、设P(x，y)，所以(x,1y)，(x，y)，(x，y)，所以(2x，2y)，()2x22y(1y)2x222，当P时，所求的最小值为.4.(2022长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为()A18B24C36D48答案C解析骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(4,0)，B(2,2)，C(2,2)，圆D方程为(x4)2y23，设P(
9、4cos，sin)，则(6,2)，(6cos，sin2)，6(6cos)2(sin2)6cos6sin24122412sin24，易知当sin1时，取得最大值36.5(2022合肥模拟)P为双曲线x2y21左支上任意一点，EF为圆C：(x2)2y24的任意一条直径，则的最小值为()A3B4C5D9答案C解析如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r2，()()()()|2|2|24，则当点P位于双曲线左支的顶点时，|24最小，即最小此时的最小值为(12)245.6(2022上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则的取值范围为(
10、)A0,2 B1，2C0，1 D1，1答案D解析如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设P(t，t)，Q(cos，1sin)，(t，t)，(cos，1sin)，t0,1，0,2)，tcosttsint，1，1，的取值范围为1，17(多选)(2022武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则的值()A与圆C的半径有关B与圆C的半径无关C与弦AB的长度有关D与点A，B的位置有关答案BC解析如图，连接AB，过C作CDAB交AB于D，则D是AB的中点，故|cosCAD|2，故的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关8(多选)(2022武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形
11、的几何学一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半这个定理就是著名的欧拉线定理设ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论正确的是()A.2B.0C设BC边的中点为D，则有3D.答案AB解析如图，对于A项，由题意得2，AHBC，所以2，所以A选项正确；对于B项，设D为BC的中点，2，所以0，所以B选项正确；对于C项，因为D为BC的中点，G为ABC的重心，所以2，2，AGHDGO，所以AGHDGO，所以2，故C选项错误；对于D项，向量，的模相等，方向不同，故D选项错误9(2022潍坊模拟)已知正方形ABCD的
12、边长为1，a，b，c，则|abc|_.答案2解析由题意可得，|是正方形的对角线长，故|，又，所以|abc|2|2.10已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为_答案6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)(2,0)，(x2，y)，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.方法二如图所示，因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，当且仅当cos 1，即0，P(1,0)时等号成立11(2022沈阳模拟)已知在面积为的A
13、BC中，sin2Csin2Asin2BsinAsinB，3，P为AD上一点，且满足m，则|的最小值为_答案1解析在ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，因为sin2Csin2Asin2BsinAsinB，所以由正弦定理得c2a2b2ab，则cosC，所以C60，因为A，P，D三点共线，所以(1)，即(1)，所以，即，而SABCabsinCab4，所以|1，当且仅当a3b时等号成立12如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则的最小值为_答案22解析如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，设P(cos，sin)，(2cos，1sin)，(cos，1sin)，2coscos212sinsin222(sincos)22sin，当sin1，即时，取最小值，最小值为22.
