1、函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解知识梳理1函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有公共点(3)函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解2二分法
2、对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)连续函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)函数yf(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点()(4)二次函数yax2bxc(a0)，若b24ac0，f(2)f(3)0，f(5)f(6)0，f(5)f(7)0，f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点2
3、已知函数f(x)则f(x)的零点为_答案2，e解析或解得x2或xe.3方程2xxk在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是_答案(3,6)解析设f(x)2xx，f(x)在(1,2)上单调递增，又f(1)3，f(2)6，3k0，f(1)10，f(0)10，f(1)e30，因为f(2)f(1)0，f(1)f(2)0，所以f(x)在(2，1)和(1,2)内存在零点(2)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析函数yf(x)是开口向上的二次
4、函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，f(x)，令f(x)0x3，f(x)00x0，f(1)0，f(x)在内无零点又f(e)10，f(x)在(1，e)内有零点思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断跟踪训练1(1)(2022太原模拟)利用二分法求方程log3x3x的近似解，可
5、以取的一个区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析设f(x)log3x3x，当x0时，f(x)，f(1)2，又f(2)log3210，故f(2)f(3)0，故方程log3x3x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x3x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)(2)已知2a3b4，函数ylogax与yxb的交点为(x0，y0)，且x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析依题意x0为方程logaxxb的解，即为函数f(x)logaxxb的零点，2a3b4，f(x)在(0，)上单调递增，又f(2)loga22b0，x0(2,3)，即n2.题型二函数零点
6、个数的判定例2(1)(2022绍兴模拟)若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，已知函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间6,6内的零点个数为()A14B13C12D11答案C解析因为f(x1)f(x)，所以函数yf(x)(xR)是周期为2函数，因为x1,1时，f(x)1x2，所以作出它的图象，则yf(x)的图象如图所示(注意拓展它的区间)再作出函数g(x)的图象，容易得出交点为12个(2)函数f(x)cosx的零点个数为_答案6解析令36x20，解得6x6，f(x)的定义域为6,6令f(x)0得36x20或cosx0，由36x20得x6，由co
7、sx0得xk，kZ，又x6,6，x为，.故f(x)共有6个零点教师备选函数f(x)2x|log2x|1的零点个数为()A0B1C2D4答案C解析令f(x)0，得|log2x|x，分别作出y|log2x|与yx的图象(图略)，由图可知，y|log2x|与yx的图象有两个交点，即原函数有2个零点思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数跟踪训练2(1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数
8、，当0x2时f(x)x2x，则函数yf(x)的图象在区间3,3上与x轴的交点个数为()A6B7C8D9答案B解析令f(x)x2x0，所以x0或x1，所以f(0)0，f(1)0，因为函数的最小正周期为2，所以f(2)0，f(3)0，f(2)0，f(1)0，f(3)0.所以函数yf(x)的图象在区间3,3上与x轴的交点个数为7.(2)(2022泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为()A3B7C5D6答案B解析根据题意，令2f2(x)3f(x)10，得f(x)1或f(x).作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)1和f(x)时，分别有3个和4个交
9、点，故关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为7.题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2022武汉模拟)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)a(x3)0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是()A(，42) B(42，)C0,42 D(0,42)答案D解析画出f(x)的函数图象，设ya(x3)，该直线恒过点(3,0)，结合函数图象，若ya(x3)与yx22x相切，联立得x2(a2)x3a0，(a2)212a0，得a42(a42舍)，若f(x)a(x3)有四个不同的实数根，则0a42.命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022北京顺义区模拟)已知函数f(x)3
10、x.若存在x0(，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()A.B.C(，0) D.答案B解析由f(x)3x0，可得a3x，令g(x)3x，其中x(，1)，由于存在x0(，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(，1)上的值域由于函数y3x，y在区间(，1)上均单调递增，所以函数g(x)在(，1)上单调递增当x(，1)时，g(x)3x0，所以函数g(x)在(，1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.教师备选1函数f(x)kx2有两个零点，则实数k的值为_答案1解析由f(x)kx2x，函数f(x)kx2有两个零点，即函数ykx只有一个零点x0，且x00.即方程kx0有
11、且只有一个非零实根显然k0，即x22x有且只有一个非零实根即二次函数yx22x的图象与直线y有且只有一个交点(横坐标不为零)作出二次函数yx22x的图象，如图因为0，由图可知，当1时，函数yx22x的图象与直线y有两个交点，不满足条件当1，即k1时满足条件当1时，函数yx22x的图象与直线y无交点，不满足条件2若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m.思维升华已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不
12、等式确定参数的取值范围(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练3(1)(多选)设函数f(x)若函数g(x)f(x)b有三个零点，则实数b可取的值可能是()A0B.C.D1答案BCD解析函数g(x)f(x)b有三个零点等价于函数yf(x)的图象与直线yb有三个不同的交点，当x0时，f(x)(x1)ex，则f(x)ex(x1)ex(x2)ex，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2,0上单调递增，且f(2)，f(0)1，x时，f(x)0，从而可得f(x)的图象如图所示，通过图象可
13、知，若函数yf(x)的图象与直线yb有三个不同的交点，则b(0,1(2)已知函数f(x)log2(x1)m在区间(1,3上有零点，则m的取值范围为()A.B.(0，)C.(0，)D.答案D解析由于函数ylog2(x1)，ym在区间(1,3上单调递增，所以函数f(x)在(1,3上单调递增，由于函数f(x)log2(x1)m在区间(1,3上有零点，则即解得m0.因此，实数m的取值范围是.课时精练1函数f(x)x3x2的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析由题意知，f(x)x3x2，f(0)4，f(1)1，f(2)7，因为f(x)在R上连续且在R上单调递
14、增，所以f(1)f(2)0，f(x)在(1,2)内有唯一零点2设函数f(x)4x3x8，用二分法求方程4x3x80近似解的过程中，计算得到f(1)0，则方程的近似解落在区间()A.B.C.D.答案A解析取x12，因为f(2)4828260，所以方程近似解x0(1,2)，取x2，因为f4870，所以方程近似解x0.3(2022武汉质检)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C.D.答案D解析由题意知方程axx21在上有实数解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.4若函数f(x)存在2个零点，则实数m的取值范围为()A
15、3,0) B1,0)C0,1) D3，)答案A解析因为函数f(x)在(1，)上单调递增，且f(2)0，即f(x)在(1，)上有一个零点，函数f(x)存在2个零点，当且仅当f(x)在(，1上有一个零点，x1时，f(x)0m3x，即函数y3x在(，1上的图象与直线ym有一个公共点，而y3x在(，1上单调递减，且有33x0，则当3m0时，直线ym和函数y3x(x1)的图象有一个公共点5(2022重庆质检)已知函数f(x)xlog2x，设0abc，且满足f(a)f(b)f(c)0，若实数x0是方程f(x)0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是()Ax0cCx0b答案B解析f(x)xlog2x在(0
16、，)上单调递减，由f(a)f(b)f(c)0，得f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0.x0a或bx0c不成立6(2022北京西城区模拟)若偶函数f(x)(xR)满足f(x2)f(x)且x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的根的个数是()A2B3C4D多于4答案C解析f(x)log3|x|的解的个数，等价于yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以周期T2，当x0,1时，f(x)x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x
17、)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点7(多选)函数f(x)sinx2|sinx|，x0,2的图象与直线yk的交点个数可能是()A1B2C4D6答案ABC解析由题意知，f(x)sinx2|sinx|，x0,2，f(x)在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示由其图象知，直线yk与yf(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8(多选)(2022南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)x0，那么我
18、们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()Af(x)2xxBg(x)x2x3Cf(x)1Df(x)|log2x|1答案BCD解析选项A，若f(x0)x0，则0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；选项B，若g(x0)x0，则x2x030，解得x03或x01，故B中函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)x0，则1x0，可得x3x010，且x01，解得x0，故C中函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)x0，则|log2x0|1x0，即|log2x0|x01，作出y|log2x|与yx1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|x1有实数根x0，即|log2x0|x0
19、1，故D中函数是“不动点”函数9若函数f(x)x3ax2bxc是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)_.答案x3x(答案不唯一)解析f(x)x3ax2bxc为奇函数，故ac0，f(x)x3bxx(x2b)有三个不同零点，b0，f(x)x3x满足题意10函数f(x)若函数yf(x)m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析画出函数yf(x)与ym的图象，如图所示，注意当x1时，f(1)1212，f(0)1，函数yf(x)m有三个不同的零点，函数yf(x)与ym的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为1mbaBbcaCcabDacb答案B解析令f(x)0
20、，则2xx10，得x0，即a0，令g(x)0，则log2xx10，得x1，即b1，因为函数h(x)x3x1在R上为增函数，且h(0)10，所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，且c(0,1)，综上，bca.14(2022厦门模拟)已知函数f(x)则函数yf(f(x)的所有零点之和为_答案解析当x0时，x10，x1，由f(x)1，可得x11或log2x1，x2或x；当x0时，log2x0，x1，由f(x)1，可得x11或log2x1，x0或x2；函数yf(f(x)的所有零点为2，0,2，所有零点的和为202.15若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为()A(0,1) B
21、.C.D(1，)答案C解析因为kx2有四个实数解，显然，x0是方程的一个解，下面只考虑x0时有三个实数解即可若x0，原方程等价于1kx(x4)，显然k0，则x(x4)要使该方程有解，必须k0，则4(x2)2，此时x0，方程有且必有一解；所以当x0时必须有两解，当x0时，原方程等价于1kx(x4)，即x(x4)(x0且x4)，要使该方程有两解，必须4.所以实数k的取值范围为.16已知M|f()0，N|g()0，若存在M，N，使得|n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”若f(x)32x1与g(x)x2aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_答案解析由题意可知f(2)0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2|1，得1，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a.
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