1、函数的概念及其表示考试要求1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用知识梳理1函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列
2、表法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数常用结论1直线xa与函数yf(x)的图象至多有1个交点2在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集3分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数()(2)函数yf(x)的图象可以是一条封闭曲线()(3)yx0与y1是同一个函数()(4)函数f(x)的定义域为R.()教材改编题1下
3、列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C2(多选)下列各组函数是同一个函数的是()Af(x)x22x1，g(s)s22s1Bf(x)x1，g(x)Cf(x)，g(x)Df(x)，g(x)x答案AC3(2022长沙质检)已知函数f(x)则f等于()A1B2C.D.答案D解析flog30，f.题型一函数的定义域例1(1)(2022武汉模拟)函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2答案B解析要使函数有意义，则需解得12或x6.因此函数的定义域为(，6(2，)2已知函数f(x)，则函数的定义域为()A(，1)B(，1)C(，1)(1,
4、0)D(，1)(1,1)答案D解析令12x0，即2x1，即x0.f(x)的定义域为(，0)函数中，有解得x1且x1.故函数的定义域为(，1)(1,1)思维升华(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义(2)求复合函数的定义域若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n解得x的范围即为f(g(x)的定义域若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域跟踪训练1(1)函数f(x)ln(3x1)的定义域为()A.B.C.D.答案B解析要使函数f(x)ln(3x1)有意义，则x1)解析令1t(t1)，则x，所以f(t)lg
5、(t1)，所以f(x)lg(x1)(2)已知yf(x)是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，则f(x)_.答案x22x1解析设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，2axb2x2，则a1，b2.f(x)x22xc，又f(x)0，即x22xc0有两个相等实根44c0，则c1.故f(x)x22x1.(3)已知函数对任意的x都有f(x)2f(x)2x，则f(x)_.答案x解析f(x)2f(x)2x，f(x)2f(x)2x，由得f(x)x.教师备选已知f(x)满足f(x)2f2x，则f(x)_.答案解析f(x)2f2x，以代替中的x，得f2f(x)，2得3f(x)2
6、x，f(x).思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法跟踪训练2(1)已知f(1sinx)cos2x，则f(x)_.答案x22x，x0,2解析令t1sinx，t0,2，sinx1t，f(t)1sin2x1(1t)2t22t，t0,2，f(x)x22x，x0,2(2)(2022黄冈质检)已知fx4，则f(x)_.答案x22，x2，)解析f22，f(x)x22，x2，)题型三分段函数例3(1)已知f(x)则ff的值为()A.BC1D1答案D解析ff1f1cos1，fcoscos，ff1.(2)已知f(x)若f(a)5，则实数a的值是_；若f(f(a)5
7、，则实数a的取值范围是_答案1或3，1解析当a0时，2a35，解得a1；当a0时，a245，解得a3或a3(舍)综上，a1或3.设tf(a)，由f(t)5得3t1.由3f(a)1，解得a1.教师备选1已知函数f(x)则f(f(2022)等于()AB.C.D.答案B解析f(2022)sinsin，f(f(2022)f.2(2022百校联盟联考)已知函数f(x)若对于任意的xR，|f(x)|ax，则a_.答案0解析当x0时，|f(x)|x3ax，即x(x2a)0恒成立，则有a0；当x0时，|f(x)|x2ax，即ax恒成立，则有a0，所以a0.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出
8、现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验跟踪训练3(1)(2022河北冀州一中模拟)设f(x)则f(f(1)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(1)2，f(f(1)f(2)230，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时取等号，f(x)min23，当x1时，f(x)x211，x0时取等号，f(x)min1，综上有f(x)的最小值为23.(2)(2022重庆质检)已知函数f(x)则f(x)f(x1)的解集为_答案解析当x0时，x11，f(x)f(x1)，等价于x21(x1)21，解得x0；
9、当01，此时f(x)x210，f(x1)log2(x1)0，当0x1时，恒有f(x)1时，f(x)f(x1)log2xlog2(x1)恒成立综上知，不等式f(x)f(x1)的解集为.课时精练1(2022重庆模拟)函数f(x)的定义域是()A(0,3) B(0,1)(1,3)C(0,3 D(0,1)(1,3答案D解析f(x)，解得0x1或1x3，故函数的定义域为(0,1)(1,32若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析A中函数定义域不是2,2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0,23(2022安徽江淮十校联考)设函数f(x)若f
10、8，则a等于()A.B.C1D2答案D解析f43，则ff(3)a3，得a38，解得a2.4设函数fx，则f(x)的表达式为()A.(x1) B.(x1)C.(x1) D.(x1)答案C解析令t，则x，f(t)，即f(x)(x1)5如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿ABCM运动时，设点P经过的路程为x，APM的面积为y，则函数yf(x)的图象大致是()答案A解析由题意可得yf(x)画出函数f(x)的大致图象，故选A.6(多选)下列函数中，与yx是同一个函数的是()AyByCylg10xDy10lgx答案AC解析yx的定义域为xR，值域为yR，对于A选项，函数yx的定义
11、域为xR，故是同一函数；对于B选项，函数y0，与yx的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C选项，函数ylg10xx，且定义域为R，故是同一函数；对于D选项，y10lgxx的定义域为(0，)，与函数yx的定义域不相同，故不是同一函数7(多选)(2022张家界质检)设函数f(x)若f(1)2f(0)，则实数a可以为()A1B0C1D2答案AB解析若a0，则f(0)1，f(1)2，f(1)2f(0)成立；若0a1，则f(0)1，f(1)2，f(1)2f(0)成立；若a1，则f(0)1，f(1)0，f(1)2f(0)不成立综上所述，实数a的取值范围是(，1)8(多选)具有性质：ff(x)的函数，
12、我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是()Af(x)xBf(x)lnCf(x)Df(x)答案AD解析对于A，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于B，f(x)ln，则flnf(x)，不满足；对于C，fex1，f(x)f，不满足；对于D，f即f则ff(x)满足“倒负”变换，故选AD.9已知f(x5)lgx，则f(100)_.答案解析令x5100，则x，f(100).10函数f(x)ln(x1)的定义域为_答案(1,4解析依题意解得1x4，f(x)的定义域为(1,411(2022广州质检)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_答案解析当x1时，f(x)ln
13、xln10，又f(x)的值域为R，故当x1时，f(x)的值域包含(，0)故解得1a.12设函数f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_答案2,0)(0,1解析当x0时，f(x)x，代入xf(x)x2得x2x20，解得2x0时，f(x)1，代入xf(x)x2，解得0x1.综上有2x0或0x1.13设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x1)f(2x)，当且仅当或解得x1或1x0，即x0.14设函数f(x)若对任意
14、的aR都有f(f(a)2f(a)成立，则的取值范围是_答案2，)解析当a1时，2a2.f(f(a)f(2a)2f(a)恒成立当a2f，则称函数f(x)具有H性质则下列函数中具有H性质的是()Af(x)xBf(x)lnxCf(x)x2(x0)Df(x)tanx答案ACD解析若对定义域内任意的x1，x2(x1x2)，有f(x1)f(x2)2f，则点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的中点在点的上方，如图.根据函数f(x)x，f(x)ln x，f(x)x2(x0)，f(x)tan x的图象可知，函数f(x)x，f(x)x2(x0)，f(x)tanx具有H性质，函数f(x)lnx不具有H性质16设f(x)是定义在R上的函数，且f(x2)f(x)，f(x)其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若ff，则的取值范围为_答案(e，)解析因为f(x2)f(x)，所以ff()2f2eb，fff(a1)，因为ff，所以(a1)2eb，所以aeb1，因为b为正实数，所以e(e，)，故的取值范围为(e，)
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