1、函数中的构造问题题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2022湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f(x)，当x0时，f(x)0，若a2f(1)，bf(2)，c4f，则a，b，c的大小关系是()AcbaBcabCbacDab0)，得g(x)，由题知当x0时，f(x)0，所以g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增，所以，即f(2)2f(1)4f，即bac.思维升华(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).跟踪训练1设f(x)为定义在R上的奇函数，f(3)0.当x0时，xf(x)2f
2、(x)0，其中f(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，3)(0,3)B(3,0)(3，)C(3,0)(0,3)D(，3)(3，)答案B解析令g(x)x2f(x)，xR，当x0时，g(x)x2f(x)2xf(x)xxf(x)2f(x)0，即g(x)在(0，)上单调递增，因为f(x)为R上的奇函数，即f(x)f(x)，于是得g(x)(x)2f(x)g(x)，则g(x)是奇函数，g(x)在(，0)上单调递增，又f(3)0，则g(3)g(3)(3)2f(3)0，当x0时，f(x)0g(x)0g(3)，得x3，当x0g(x)0g(3)，得3x0，综上，得3x3，所以使f
3、(x)0成立的x的取值范围是(3,0)(3，)命题点2利用f(x)与ex构造例2(多选)已知f(x)是定义在(，)上的函数，导函数f(x)满足f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(2)e2f(0)Ce2f(1)f(1) De2f(1)f(1)答案AC解析构造F(x)，则F(x)，导函数f(x)满足f(x)f(x)，则F(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)的解集为_答案(0，)解析构造F(x)f(x)e2x，F(x)f(x)e2xf(x)2e2xe2xf(x)2f(x)0，F(x)在R上单调递增，且F(0)f(0)e01，不等式f(x)可化为f(x)e2x1，即F(x)F(0)，x0，
4、原不等式的解集为(0，)命题点3利用f(x)与sin x、cos x构造例3(多选)(2022重庆模拟)定义在上的函数f(x)，已知f(x)是它的导函数，且恒有cosxf(x)sinxf(x)fB.ffCffD.ff答案CD解析构造函数g(x).则g(x)g，所以ff，同理gg，即ff.思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)f(x)sinx，F(x)f(x)sinxf(x)cosx；F(x)，F(x)；F(x)f(x)cosx，F(x)f(x)cosxf(x)sinx；F(x)，F(x).跟踪训练3已知R上的奇函数f(x)，其导函数为f(x)，且当x(
5、0，)时，f(x)sinxf(x)cosx0，若af，bf，则a与b的大小关系为_答案ab解析设(x)f(x)sinx，则(x)f(x)sinxf(x)cosx，x(0，)时，(x)，即fsinfsin，即ff，即ff，a0，g(t)lntt，则g(t)1，当0t0，当t1时，g(t)0，所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以当t1时，g(t)取得极大值即最大值g(1)1，因为当t0时，g(t)，所以g(t)(，1，所以ln2a1，所以00，所以1，xa1，因为f(x)在(1，)上单调递增，所以要使f(xa)，只需xa，两边取对数，得alnx，因为xe，所以a.令h(x
6、)xlnx(xe，)，因为h(x)lnx10，所以h(x)在e，)上单调递增，所以h(x)minh(e)e，所以0，则a，故正实数a的最小值为.思维升华同构法的三种基本模式：乘积型，如aeablnb可以同构成aea(lnb)elnb，进而构造函数f(x)xex；比商型，如可以同构成blnb，同构后可以构造函数f(x)exx或f(x)xlnx.跟踪训练4(1)(多选)(2022常州模拟)若0x1x2lnx2lnx1Dlnx2lnx1答案AD解析构造函数f(x)(0x1)，因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，因为0x1x21，所以，即，所以选项A正确，选项B错误；构造函数h(x)e
7、xlnx(0x0，当x0时，h(x)，所以存在x0(0,1)，使h(x0)0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，所以无法判断C选项的正确性；构造函数g(x)exlnx(0x1)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，因为0x1x21，所以lnx1lnx2，即0，得t0，令(t)0，得t0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解方法一令(x)f(x)ax(x1)ln(x1)ax(x0)，则(x)ln(x1)1a，x0，ln(x1)0.当1a0，即a1时，(x)0，(x)在(0，)上单调递增，又(0)0，(x)0恒成立，故a1满足题意当1a1时，令(x)0，得xea1
8、1，x(0，ea11)时，(x)0，(x)在(0，ea11)上单调递减，在(ea11，)上单调递增，(x)min(ea11)0恒成立矛盾，故a1不满足题意综上有a1，故实数a的取值范围是(，1方法二当x(0，)时，(x1)ln(x1)ax恒成立，即a0)，g(x).令k(x)xln(x1)(x0)，k(x)10，k(x)在(0，)上单调递增k(x)k(0)0，xln(x1)0恒成立，g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增由洛必达法则知g(x)ln(x1)11，a1，故实数a的取值范围是(，1例2已知函数f(x)x(ex1)ax2(aR)(1)若f(x)在x1处有极值，求a的值(2)当x0时
9、，f(x)0，求实数a的取值范围解(1)f(x)ex1xex2ax(x1)ex2ax1，依题意知f(1)2a10，a.经检验a符合题意(2)方法一当x0时，f(x)0，即x(ex1)ax20，即ex1ax0，令(x)ex1ax(x0)，则(x)min0，(x)exa.当a1时，(x)exa0，(x)在(0，)上单调递增，(x)(0)0，a1满足条件当a1时，若0xlna，则(x)lna，则(x)0.(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，(x)min(lna)a1alna0.令g(a)a1alna(a1)，g(a)1(1lna)lna0，g(a)在(1，)上单调递减g(a)
10、1不满足条件，综上，实数a的取值范围是(，1方法二当x0时，f(x)0，即x(ex1)ax20，即ex1ax0，即axex1，即a恒成立，令h(x)(x0)，h(x)，令k(x)ex(x1)1(x0)，k(x)exx0，k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增由洛必达法则知，h(x)ex1，a1.故实数a的取值范围是(，1课时精练1已知f(x)的定义域为R，f(1)2023，且f(x)6x恒成立，则不等式f(x)3x22020的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，1)(1，)答案B解析令函数g(x)f(x)3x2，因为g(x)f(x
11、)6x0，所以g(x)在R上单调递增因为g(1)f(1)32020，所以不等式f(x)3x22020等价于g(x)g(1)，所以x1.2已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足xf(x)bcBcabCbacDacb答案A解析设g(x)，则g(x)ln41，g(3)g(ln4)bc.3(2022青铜峡模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f(x)，若对于任意实数x，有f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即g(x)为减函数，又f(0)1，故g(0)1，则不等式f(x)ex等价于1g(0)，即g(x)0，故不等式的解集为(0，)4若
12、函数f(x)的导函数为f(x)，对任意x(，0)，f(x)sinxfBffC.ffDff答案C解析因为任意x(，0)，f(x)sinxf(x)cosx0恒成立，又当x(，0)时，sinx0，所以0，所以y在(，0)上单调递减，因为，即，所以fcaBacbCabcDbac答案D解析依题意得aln，be1，c.令f(x)(x0)，则f(x)，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以f(x)maxf(e)b，且f(3)f(8)，即ac，所以bac.6(2022包头质检)若e2b(a1)2ea(2b1)2，则()Aa2bBa2bCab2答案B解析设f(x)(x1)2ex，则f(
13、x)x1ex，设g(x)x1ex，则g(x)1ex，令g(x)0x0f(x)在(0，)上单调递增；令g(x)0x0f(x)在(，0)上单调递减，所以f(x)minf(0)0，即f(x)0恒成立，所以f(x)(x1)2ex在(，)上单调递增，e2b(a1)2ea(2b1)2化为(a1)2ea(2b1)2e2b，即f(a)f(2b)a2b.7(多选)已知a，b(0，e)，且ab，则下列式子中可能成立的是()AaebbeaCalnbblna答案ABD解析设g(x)，则g(x)，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，e)上单调递增所以当a，b(0，e)，a0，得0xe，由f(x)e，所以f(x)
14、在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，因为a，b(0，e)，且ab，所以blna.所以选项C不正确，D正确8(多选)(2022山东济宁一中月考)已知定义域为R的函数f(x)的图象连续不断，且xR，f(x)f(x)4x2，当x(0，)时，f(x)4x，若f(2m1)f(m)6m28m2，则实数m的取值可以为()A1BC.D1答案BCD解析依题意得，f(x)f(x)4x2，故f(x)2x2f(x)2(x)2，令g(x)f(x)2x2，则g(x)g(x)，所以函数g(x)为奇函数，g(x)f(x)4x，因为当x(0，)时，f(x)4x，即当x(0，)时，g(x)f(x)4x1，f(0)4，则
15、不等式exf(x)ex3的解集为_答案(0，)解析将f(x)f(x)1左右两边同乘ex得，exf(x)exf(x)ex0，令g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)exf(x)ex0，所以g(x)在R上单调递增，且g(0)f(0)13，不等式exf(x)ex3等价于exf(x)ex3，即g(x)g(0)，所以x0.10(2022江阴模拟)若xy时，不等式2m(xy)恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，2解析因为xy，2m(xy)，即2sinmx2sinmy，令f(x)2sinmx，即xy，f(x)bc解析设f(x)x22lnx，g(x)exx，则f(a)g(1)，f(b)g(2)，f(c)g(3)，又g(x)ex10(x0)，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g(3)g(2)g(1)，即f(c)f(b)f(a)，因为f(x)2x0(x(0,1)，所以f(x)在(0,1)上单调递减，所以abc.12若不等式xexalnxx1恒成立，则实数a的最大值为_答案2解析xexalnxx1，elnxxalnxx1，令tlnxx，则etat1恒成立，则aett1恒成立，令(t)ett1，(t)et1，当t(，0)时，(t)0，(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(t)min(0)2，a2，故a的最大值为2.
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