1、一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法知识梳理1二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(a(a0)的解集为(，a)(a，)，|x|0)的解集为(a，a)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若方程ax2bxc0无实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(2)若不
2、等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则a0恒成立，则a0且0，Bx|x22x31Cx|x9Dx|x3答案C解析Ax|x9或x0，Bx|1x3，ABx|x92若关于x的不等式ax2bx20的解集为，则ab_.答案14解析依题意知解得ab14.3一元二次不等式ax2ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析依题意知即4a0.题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参的不等式例1(1)不等式2x2x30的解集为()A.B.C.D.答案C解析2x2x30，即(x1)(2x3)0，x.(2)(多选)已知集合M，集合N，则()AMBNCMNDMN答案ACD解析由题设可得M1,3
3、，N(1,4，故A正确，B错误；MNx|1x4，故C正确；而MNx|1x3，故D正确命题点2含参的不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.延伸探究在本例中，把a0改成aR，解不等式解当a0时，同例2，当a0时，原不等式等价于x11，当a0时，0，解得x1或x.综上，当0a1时，不等式的解集为，当a0时，不等式的解集为x|x1，当a0，即a2或a2时，方程x2ax10的两根为x，原不等式的解为x.若a240，则a2.当a2时，原不等式可化为x22x10
4、，即(x1)20，x1；当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1.当a240，即2a2或a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0B不等式bxc0的解集为x|x4C不等式cx2bxa0答案AC解析关于x的不等式ax2bxc0的解集为(，34，)，所以二次函数yax2bxc的开口方向向上，即a0，故A正确；对于B，方程ax2bxc0的两根分别为3,4，由根与系数的关系得解得bxc0ax12a0，由于a0，所以x0的解集为，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知所以cx2bxa012ax2axa0x，所以不等式cx2bxa0的解
5、集为，故C正确；对于D，abcaa12a12a0.解当a0时，原不等式可化为x10，即x1；当a0时，(x1)(axa1)0的两根分别为1,1.当a0时，11或x1.当a1，原不等式的解为1x1；当a0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒(能)成立问题命题点1在R上恒成立问题例3(2022漳州模拟)对xR，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则a的取值范围是()A2a2B2a2Ca2或a2Da2或a2答案A解析不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，当a20，即a2时，40恒成立，满足题意；当a20时，要使不等式恒成立，需即有解得2a2.综
6、上可得，a的取值范围为(2,2命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，则实数m的取值范围为_答案解析要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上单调递增，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上单调递减，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60在x1,3上恒成立，所以m在x1,3上恒成立令y，因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m4xp3，当0p4时恒成立，则x的取值范围是()A1,3B(，1C3
7、，)D(，1)(3，)答案D解析不等式x2px4xp3可化为(x1)px24x30，由已知可得(x1)px24x3min0(0p4)，令f(p)(x1)px24x3(0p4)，可得x3.教师备选函数f(x)x2ax3.若当x2,2时，f(x)a恒成立，则实数a的取值范围是_若当a4,6时，f(x)0恒成立，则实数x的取值范围是_答案7,2(，33，)解析若x2ax3a0在x2,2上恒成立，令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是7,2令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，3
8、3，)思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数一般情况下，求谁的范围，谁就是参数(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论跟踪训练2(1)已知关于x的不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围是()Aa|1a4Ba|1a4Ca|a4或a1Da|4a1答案A解析因为关于x的不等式x24xa23a在R上有解，即x24xa23a0在R上有解，只需yx24xa23a的图象与x轴有公共点，所以(4)24(a23a)0，即a23a40，所以(a4)(a1)0，解得1a4，所以实数a的取值范围是
9、a|1a4(2)当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是()A(，4 B(，5)C(，5 D(5，4)答案C解析令f(x)x2mx4，当x(1,2)时，f(x)0恒成立，即解得m5.课时精练1不等式912x4x2的解集为()ARBC.D.答案C解析原不等式可化为4x212x90，即(2x3)20，2x30，x，原不等式的解集为.2(2022揭阳质检)已知p：|2x3|1，q：x(x3)0，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D必要不充分条件答案B解析p：|2x3|1，则12x31，可得p：1x2，又q：x(x3)0，由x(x3)0，可得q：0x3，
10、可得p是q的充分不必要条件3(2022南通模拟)不等式(m1)x2mxm10的解集为，则m的取值范围是()Am1BmCmDm或m答案B解析不等式(m1)x2mxm10且(m)24(m1)(m1)0，解得m.综上，实数m的取值范围是m.4(2022合肥模拟)不等式x2ax40对一切x1,3恒成立，则a的最小值是()A5BC4D3答案C解析x1,3时，x2ax40恒成立，则a恒成立，又x1,3时，x24，当且仅当x2时取等号4，a4.故a的最小值为4.5(多选)满足关于x的不等式(axb)(x2)0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是()A(2，1) B(3，6)C(2,4)
11、D.答案AD解析不等式(axb)(x2)0的解集为，方程(axb)(x2)0的实数根为和2，且即a2b0(a0)的解集是x|xd，则下列四个结论中正确的是()Aa24bBa24C若不等式x2axb0D若不等式x2axbc的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4，则c4答案ABD解析由题意，知a24b0，所以a24b，所以A正确；对于B，a2a224，当且仅当a2，即a时等号成立，所以B正确；对于C，由根与系数的关系，知x1x2b1的解集为_答案(1,4)解析1，10，即0，即1x4.原不等式的解集为(1,4)8一元二次方程kx2kx10有一正一负根，则实数k的取值范围是_答案(，0)解析kx2
12、kx10有一正一负根，解得k0.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；(2)若ba1，求此不等式的解集解(1)根据题意得解得a2，b8.(2)当ba1时，x2axb0x2ax(a1)0，即x(a1)(x1)0.当a11，即a2时，原不等式的解集为；当a11，即a1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1)综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1)10若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，满足f(x2)f(x)16x且f(0)2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2(a
13、0)，由f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2(ax2bx2)4ax4a2b，又f(x2)f(x)16x，得4ax4a2b16x，所以故a4，b8，所以f(x)4x28x2.(2)因为存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，即存在x1,2，使不等式m4x210x2成立，令g(x)4x210x2，x1,2，故g(x)maxg(2)2，所以m2，即m的取值范围为(，2)11(多选)已知函数f(x)4ax24x1，x(1,1)，f(x)0恒成立，则实数a的取值可能是()A0B1C2D3答案CD解析因为f(x)4ax24x1，所以f(0)10成立当x(1,0)(0,1)时，由f(x)0可得4ax
14、24x1，所以4amin，当x(1,0)(0,1)时，(，1)(1，)，所以244，当且仅当x时，等号成立，所以4a4，解得a0，即x22xc0的解集为(m，m4)，所以m，m4是方程x22xc0的两个根，所以解得m1，c3.13若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_答案4,3解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10在1,5上有解，则a的取值范围是_答案解析对于方程x2ax20，a280，方程x2ax20有两个不相等的实数根，又两根之积为负，必有一正根一负根，设f(
15、x)x2ax2，于是不等式x2ax20在1,5上有解的充要条件是f(5)0，即5a230，解得a.故a的取值范围是.15(2022湖南多校联考)若关于x的不等式x2(2a1)x2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0的解集为x|1x2a，则32a4，解得a2；当2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0无解，所以a不符合题意；当2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0的解集为x|2ax1，则22a1，解得1a.综上，a的取值范围是.16已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x1,1，不等式tf(x)2恒成立，求t的取值范围解(1)因为不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，可得解得所以f(x)2x210x.不等式组即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得65k7，解得2k0时，有即解得t，所以0t；当t0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t5t10，解得t，即t0，综上，t的取值范围是.
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