1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第二节 排列与组合第十一章2023内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解排列与组合的相关概念与区别.2.掌握排列数公式与组合数公式,并能熟练运用.3.熟练运用排列、组合知识解决常见问题.1.排列问题2.组合问题3.排列与组合的综合问题1.数学建模2.逻辑推理3.数学运算强基础 增分策略1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有
2、不同的个数组合数的个数微点拨排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素交换后,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.一定的顺序排列组合3.排列数、组合数的公式及性质1 微点拨正确理解组合数的性质常用结论增素能 精准突破考点一排列问题典例突破例1.有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排一排,女生必须站在一起;(5)全体排一排,男生互不相邻;(6)全体排一排,甲、乙两人中间恰好有3人;(7)全体排一排,甲必须排乙前面;(8)全体排一
3、排,甲不排在左端,乙不排在右端.突破技巧对点训练1(1)(2021广东深圳一模)小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加某电视节目的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为()A.6B.12C.24D.48(2)用0,1,2,3,4,5这6个数字能组成奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)个.答案:(1)B(2)132解析:(1)将小明父母与小明三人进行捆绑,其中小明居于中间,形成一个元素,故符合要求的六位数的个数为144-12=132.考点二组合问题典例突破例2.某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品
4、必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?突破技巧组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考
5、虑逆向思维,用间接法处理.对点训练2某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各有一名队长.现从中选5人主持某活动,依下列条件各有多少种选择?(1)只有一名女生当选;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)男生甲和女生乙当选;(5)最多有两名女生当选.考点三排列与组合的综合问题(多考向探究)考向1.元素、位置特殊问题典例突破例3.(1)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出,每个瓶子放一种,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法种数为()(2)(2021山东滨州二模)某地区五个自然村A,B,C,D,E引入五个发展项目:林果,茶园,养殖,
6、旅游,农业特色深加工,不同的村安排不同的项目,且每个村只安排一个项目.由于自然村条件限制,A,B两个村无法实施农业特色深加工项目,C村无法实施养殖项目,D,E两个村可以实施任何项目,则符合条件的不同安排方式共有()A.48种B.54种C.60种D.72种答案:(1)C(2)C突破技巧求解元素、位置特殊问题的一般思路是:分析受条件限制的元素、位置的特点,找出合适的入手点,确定分步、分类的标准.对点训练3(1)旅游体验师小李受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.10(
7、2)(2021山东临沂二模)现有标号为,的5件不同新产品,要放到三个不同的机构进行测试,每件产品只能放到一个机构里.机构A,B各负责一个产品,机构C负责余下的三个产品,其中产品不在A机构测试的情况有种(结果用具体数字表示).答案:(1)D(2)16考向2.相邻与相间问题典例突破例4.(2021湖南长沙模拟)一次表彰大会上,计划安排5名优秀学生代表上台发言,这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级,其中高一、高二年级各2名,高三年级1名.发言时若要求来自同一年级的学生不相邻,则不同的排法共有().A.36种B.48种C.72种D.120种答案:B突破技巧求解相邻与相间问题的方法1.元素相邻
8、利用“捆绑法”.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起作排列,同时要注意合并元素内部的排列;2.元素不相邻利用“插空法”.即对于某几个元素不相邻的问题,先将其他元素排列好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.对点训练4(1)某大厦一层有A,B,C,D四部电梯,现有3人在一层乘坐电梯上楼,其中恰好有2人乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有()A.12种B.24种C.18种D.36种(2)现有一圆桌,周边有标号为1,2,3,4的四个座位,甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题,每人只能坐一个座位,且甲、乙不能相邻,则所有选座方法有种.(用数字作答)答案
9、:(1)D(2)8考向3.分组与分配问题典例突破例5.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.突破技巧分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除
10、以m!;对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”;不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;限制条件的分配问题常采用分类法求解.对点训练5(1)(2021全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种(2)(2021山东日照一模)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为()A.6B.12C.24D.36(3)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案:(1)C(2)B(3)D
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