1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第9节 函数模型及应用 第二章 函数、导数及其应用考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养2.应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养3.构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运
2、算素养函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关1常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b 为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关指数函数型f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1
3、，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b 为常数，a0)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴 平行随x的增大逐渐表现为与 x 轴 平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0 时，有 logaxxn1)的增长速度会超过并远远大于 yx(0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形
4、象比喻()考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(4)幂函数增长比直线增长更快()(5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()答案：(1)(2)(3)(4)(5)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析：C 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选 C.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关2(人教 A 版
5、教材习题改编)下列函数中随 x 的增大，增长率最终最大的是()Ay1 000 x Byx2Cyln xDy(1.01)x解析：D 当 x 充分大时，指数函数 yax(a1)增长最快，因此选 D.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关3某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到()A200 只B300 只C400 只D500 只解析：A 由已知得 100alog3(21)，得 a100，则当 x8 时，y100log3(81)200(只)故选 A.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关4某工厂生产某种
6、产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元解析：由已知得 L(Q)K(Q)10Q2 00040Q 120Q2 10Q2 000 120(Q300)22 500，所以当 Q300 时，L(Q)max2 500(万元)答案：2 500考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关5在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_(m)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析：设矩形花园的宽为 y m，则 x4040y
7、40，即 y40 x，矩形花园的面积 Sx(40 x)x240 x(x20)2400，当 x20 m时，面积最大答案：20考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关6某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且已知病毒的繁殖规律为 yekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个答案：2ln 2 1 024考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关考点一 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透)题组集训1(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至
8、 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析：A 由折线图，7 月份后月接待游客量减少，A 错误；本题选择 A 选项考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关2汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效
9、率情况。下列叙述中正确的是()考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关A消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 kmB以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 10 L 汽油D某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析：D 对于 A 选项：由题图可知，当乙车速度大于 40 km/h时，乙车每消耗 1 L 汽油，行驶里程都超过 5 km，则 A 错误对于B 选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则 B 错
10、误对于 C 选项：甲车以 80 km/h 的速度行驶时，燃油效率为 10 km/L，则行驶 1 h，消耗了汽油 801108(L)，则 C 错误对于选项 D：速度在 80 km/h 以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故 D 对考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案考点层级突破第二章基础自主
11、夯实课时分组冲关考点二 应用所给函数模型解决实际问题(课堂共研)典例 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 yf(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间破题关键点 由所给函数图象可知，当 0t1 时，含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间是正比例函数的关系；当 t1 时，含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间是指数函
12、数的关系考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析(1)由题图，设 ykt，0t1，12ta，t1，当 t1 时，由 y4 得 k4，由121a4 得 a3.所以 y4t，0t1，12t3，t1.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(2)由 y0.25 得0t1，4t0.25，或t1，12t30.25，解得 116t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5 1167916(小时)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警
13、示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练里氏震级 M 的计算公式为 Mlg Alg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5级地震的最大振幅的_倍考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解析：根据题意，由 lg 1 000lg 0.0016 得此次地震的震级为6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震的最大振幅为 A9，则 lg A9lg 0.0019，解得
14、A9106，同理 5 级地震的最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍答案：6 10 000考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关考点三 构建函数模型解决实际问题(多维探究)数学建模函数建模在实际问题中的妙用解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 1 构建二次函数模型1某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其
15、关系如图 1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元)考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产()若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？()问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解：设 A，B 两种产品分别投资 x 万元，x 万元，x0，所获利润分别为 f(x)万元、g(x)万元由题意可设 f(x)k1x，g(x)k
16、2 x.根据图象可解得 f(x)0.25x(x0)g(x)2 x(x0)()由得 f(9)2.25，g(9)2 96.所以总利润 y8.25 万元考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关()设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为 y 万元则 y14(18x)2 x，0 x18.令 xt，t0,3 2，则 y14(t28t18)14(t4)2172.所以当 t4 时，ymax172 8.5，此时 x16,18x2.所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关二次
17、函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 构建指数函数模型2已知某物体的温度 v(单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律是 vm2t21t(t0，并且 m0)(1)如果 m2，求经过多长时间，物体的温度为 5 摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围考点层
18、级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解：(1)若 m2，则 v22t21t22t12t，当 v5 时，2t12t52，令 2tx(x1)，则 x1x52，即 2x25x20，解得 x2 或 x12(舍去)，此时 t1.所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 2 恒成立，亦 m2t22t2 恒成立，亦即 m212t 122t 恒成立令12ty，则 0y1，m2(yy2)恒成立，由于 yy214，m12.因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时，m 的取值范围是12，.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关
19、此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 yN(1p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 ya(1x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 3 构建分段函数模型3已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美元设华为公司一年内共生产该款华为手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，且R(x)4006x，0 x40，7 400 x40 000 x2，x40.(1
20、)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华为手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关数学建模在分段函数中应用的核心素养信息提取信息解读数学建模年固定成本为 40 万美元固定成本，与产量、销量无关每生产 1 万只还需另投入 16 万美元变动成本，与产量正相关，每生产 x 万只手机增加成本 16x 万美元模型 1：求利润最大模型着眼点：利润销售收入成本成本包含固定成本、变动成本等所有题干涉及的成本考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关每万只的销售收入为 R(x)万美元年利润W(万美元)
21、关于年产量 x(万只)的函数解析式年利润年销售总收入固定成本变动成本，则 WxR(x)(16x40)注意：R(x)为每万只的销售收入，年销售总收入应该为 xR(x)，x 为年产量(万只)所获得的利润最大时的年产量R(x)是分段函数，那么W(x)也是分段函数，需要分别求出每段上的最值，比较后取其大者模型 2：分段函数模型着眼点：分段函数的最值是其每个区间段上的最值中的最大者或最小者，应分别求解后进行比较注意：实际问题中，x 的取值不仅要使函数有意义，也要有实际意义考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解：(1)第一步 分别列出 0 x40 和 x40 时对应的利润 W.当 0 x40 时，W
22、xR(x)(16x40)6x2384x40，当 x40时，WxR(x)(16x40)40 000 x16x7 360.第二步 列出利润 W 的分段函数所以，W6x2384x40，0 x40，40 000 x16x7 360，x40.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(2)第三步 计算 0 x40 时的利润 W 的最大值当 0 x40 时，W6(x32)26 104.所以 WmaxW(32)6 104；第四步计算 x40 时的利润 W 的最大值考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关当 x40 时，W40 000 x16x7 360，由于40 000 x16x240 000 x16x1
23、 600，当且仅当40 000 x16x，即 x50(40，)时，取等号，所以W 取最大值为 5 760.第五步 得出本题的利润 W 的最大值综合，当 x32 时，W 取最大值为 6 104 万元考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关1本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于自变量在不同范围内，对应的函数解析式不同，因此，此类问题最值的求解是必须先求出函数在每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关2解函数应用题的一般程序第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学
24、模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y13x380 x25 040 x，x120，144，12x2200 x80 000，x144，500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，
25、若该项目不获利，国家将给予补偿考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关解：(1)当 x200,300时，设该项目获利为 S，则 S200 x12x2200 x80 00012x2400 x80 00012(x400)2，所以当 x200,300时，S0，因此该单位不会获利当 x300 时，S 取得最大值5 000，所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使
26、该项目不亏损考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx13x280 x5 040，x120，144.12x80 000 x200，x144，500当 x120,144)时，yx13x280 x5 04013(x120)2240，所以当 x120 时，yx取得最小值 240.考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关当 x144,500时，yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000 x，即 x400 时，yx取得最小值 200.因为 200240，所以当每月的处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第二章基础自主夯实课时分组冲关