1、高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与几何体的体积1.(2020安徽合肥二模,文18)如图1,在矩形ABCD中,E,F在边CD上,BC=CE=EF=FD=1.沿BE,AF将CBE和DAF折起,使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直,连接DC,如图2.(1)证明:CDAB;(2)求三棱锥D-BCE的体积.2.(2020河南焦作模拟)如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1.(1)求证:AB1平面A1C1C;(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩
2、形,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,AD=AB=1.(1)若点G为线段BC的中点,证明:平面EFG平面PAB;(2)在(1)的条件下,求以EFG为底面的三棱锥C-EFG的高.4.(2020广东肇庆二模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD=1,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F.(1)证明:PA平面EDB;(2)求三棱锥B-DEF的体积.5.如图,平面ABCD平面CDEF,且四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,BAD=CDA=90,AB=AD=DE=12CD,M是线段DE上的动点.(1)试确定点M的位置,使
3、BE平面MAC,并说明理由;(2)在(1)的条件下,四面体E-MAC的体积为3,求线段AB的长.6.(2020全国2,文20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱锥B-EB1C1F的体积.7.如图,多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,BCD=60,四边形BDEF是正方形且DE平面ABCD.(1)求证:CF平
4、面ADE;(2)若AE=2,求多面体ABCDEF的体积V.8.(2020四川棠湖中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=120,PA=2,PB=PC=PD,E是PB的中点.(1)证明:PD平面AEC;(2)设F是线段DC上的动点,当点E到平面PAF距离最大时,求三棱锥P-AFE的体积.突破2空间中的垂直与几何体的体积1.(2020山西长治一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,且PA=AD=2,AB=3,点E为线段PD的中点.(1)求证:AEPC;(2)求三棱锥P-ACE的体积.2.(2020全国3,文19)如图,
5、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.3.(2020福建莆田一模,文19)如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,AB=AC=2,PA=23,PB=PD.(1)证明:平面PAC平面ABCD;(2)若PAAC,M为PC的中点,求三棱锥B-CDM的体积.4.(2020福建漳州二模,文18)已知四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为梯形,BCD=ADC=SAD=90,平面SAD平面ABCD,E为线段AD的中点,AD=2BC=2CD.(1)证明:BD平面SAB;(2)若S
6、A=AD=2,求点E到平面SBD的距离.5.(2020广东广州一模,文19)如图,三棱锥P-ABC中,PA=PC,AB=BC,APC=120,ABC=90,AC=3PB=2.(1)求证:ACPB;(2)求点C到平面PAB的距离.6.(2020陕西铜川二模,文19)如图,ABC为边长为2的正三角形,AECD,且AE平面ABC,2AE=CD=2.(1)求证:平面BDE平面BCD;(2)求三棱锥D-BCE的高.7.如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点E到平面A
7、CD的距离.参考答案高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明分别取AF,BE的中点M,N,连接DM,CN,MN.由图可得,ADF与BCE都是等腰直角三角形,且ADF与BCE全等,DMAF,CNBE,DM=CN.平面ADF平面ABEF,交线为AF,DM平面ADF,DMAF,DM平面ABEF.同理,CN平面ABEF,DMCN.又DM=CN,四边形CDMN为平行四边形,CDMN.M,N分别是AF,BE的中点,MNAB,CDAB.(2)解由图可知,V三棱锥D-BCE=V三棱锥B-DCE,EF=1,AB=3,CD=MN=2,V三棱锥B-DCE=2V三棱锥B-EFC=2V三
8、棱锥C-EFB.由(1)知,CN平面BEF.CN=22,SBEF=12,V三棱锥C-EFB=212,V三棱锥D-BCE=26.2.(1)证明如图,取BC的中点D,连接AD,B1D,C1D,B1C1BC,BC=2B1C1,BDB1C1,BD=B1C1,CDB1C1,CD=B1C1,四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,C1DB1B,C1D=B1B,CC1B1D,又B1D平面A1C1C,C1C平面A1C1C,B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中,BB1AA1,BB1=AA1,C1DAA1,C1D=AA1,四边形ADC1A1为平行四边形,ADA1C1.又AD平面A1C1C,A1C1平
9、面A1C1C,AD平面A1C1C,B1DAD=D,平面ADB1平面A1C1C,又AB1平面ADB1,AB1平面A1C1C.(2)在正方形ABB1A1中,A1B=2,A1BC是等边三角形,A1C=BC=2,AC2+AA12=A1C2,AB2+AC2=BC2,AA1AC,ACAB.又AA1AB,AA1平面ABC,AA1CD,易得CDAD,ADAA1=A,CD平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的,直三棱柱ABD-A1B1C1的体积为1212111=14,四棱锥C-ADC1A1的体积为1322122=16,多面体ABCA1B1C1
10、的体积为14+16=512.3.(1)证明E,F分别是PC,PD的中点,EFCD.底面ABCD是矩形,CDAB,EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.同理EG平面PAB.EFEG=E,平面EFG平面PAB.(2)解PA底面ABCD,BC底面ABCD,PABC,BCAB,PAAB=A,BC平面PAB,C到平面PAB的距离为BC=1,以EFG为底面的三棱锥C-EFG的高为12.4.(1)证明连接AC交BD于点G,则G是AC的中点,连接EG,则EG是PAC的中位线,所以PAEG,因为PA平面EDB,EG平面EDB,所以PA平面EDB.(2)解因为PD平面ABCD,BC平面ABC
11、D,所以PDBC,又BCCD,CDPD=D,所以BC平面PCD,又DE平面PCD,所以DEBC.因为PD=CD,E是PC的中点,所以DEPC,BCPC=C,所以DE平面PBC,所以DE是三棱锥D-BEF的高.DE=22,BC=1,PC=2PE=2,PB=3,RtBCPRtEFP,所以PCPF=BPEP=BCEF,得PF=PCEPBP=33,EF=BCEPBP=66,BF=233,VB-DEF=VD-BEF=13SBEFDE=1312BFEFDE=118.5.解(1)当EM=13DE时,BE平面MAC.证明如下:连接BD,交AC于N,连接MN.由于AB=12CD,所以DNNB=2.当EM=13D
12、E时,DMME=2,所以MNBE.由于MN平面MAC,又BE平面MAC,所以BE平面MAC.(2)CDDA,CDDE,DADE=D,CD平面ADE.又平面ABCD平面CDEF,ADDC,AD平面CDEF,ADDE.设AB=a,则VE-MAC=VC-MAE=13CDSMAE=19a3.所以19a3=3,解得a=3.因此AB=3.6.(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1F,AO平面A
13、1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.因为BC平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MTPN,垂足为T,则由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.底面EB1C1F的面积为12(B1C1+EF)PN=12(6+2)6=24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为13243=24.7.(1)证明ABCD是菱形,BCAD.又BC平面ADE,AD平面ADE,B
14、C平面ADE.又BDEF是正方形,BFDE.BF平面ADE,DE平面ADE,BF平面ADE.BC平面BCF,BF平面BCF,BCBF=B,平面BCF平面AED,CF平面AED.(2)解连接AC,记ACBD=O,ABCD是菱形,ACBD,且AO=CO.由DE平面ABCD,AC平面ABCD,DEAC.DE平面BDEF,BD平面BDEF,DEBD=D,AC平面BDEF于O,即AO为四棱锥A-BDEF的高.由ABCD是菱形,BCD=60,则ABD为等边三角形,由AE=2,则AD=DE=1,AO=32,S正方形BDEF=1,VA-BDEF=13S正方形BDEFAO=36,V=2VA-BDEF=33.8.
15、(1)证明连接DB与AC交于点O,连接OE,因为ABCD是菱形,所以O为DB的中点,又因为E为PB的中点,所以PDOE,因为PD平面AEC,OE平面AEC,所以PD平面AEC.(2)解取BC中点M,连接AM,PM,因为四边形ABCD是菱形,BAD=120,且PC=PB,所以BCAM,BCPM,又AMPM=M,所以BC平面APM,又AP平面APM,所以BCPA.同理可得,DCPA,又BCDC=C,所以PA平面ABCD,所以平面PAF平面ABCD,又平面PAF平面ABCD=AF,所以点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离,过点B作直线AF的垂线段,在所有垂线段中长度最大为AB=2,因为E为
16、PB的中点,故点E到平面PAF的最大距离为1,此时,F为DC的中点,即AF=3,所以SPAF=12PAAF=1223=3,所以VP-AFE=VE-PAF=1331=33.突破2空间中的垂直与几何体的体积1.(1)证明PA平面ABCD,PACD,又在矩形ABCD中,CDAD,CD平面PAD,AE平面PAD,CDAE,又PA=AD,E为PD中点,AEPD,又CDPD=D,AE平面PCD.PC平面PCD,AEPC.(2)解点E为线段PD的中点,VP-ACE=VE-PAC=12VP-ACD=121321223=1.2.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故A
17、CBD.又因为BB1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AEGD1.因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.3.(1)证明设BD交AC于点O,连接PO,在菱形ABCD中,ACBD,又PB
18、=PD,O是BD的中点,POBD,ACPO=O,AC平面PAC,PO平面PAC,BD平面PAC,又BD平面ABCD,故平面PAC平面ABCD.(2)解连接OM,M为PC的中点,且O为AC的中点,OMPA,由(1)知,BDPA,又PAAC,则BDOM,OMAC,又ACBD=O,OM平面ABCD.由题得OC=1,BD=23,则SBCD=12BDOC=12231=3,OM=12PA=3,VB-CDM=VM-BCD=13SBCDOM=1333=1.三棱锥B-CDM的体积为1.4.(1)证明由题意知BCD=ADC=90,BCED,且BC=CD=12AD=DE,所以四边形BCDE是正方形,所以BDCE,又
19、因为BCAE,BC=AE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以CEAB,则BDAB.因为平面SAD平面ABCD,SAD=90,平面SAD平面ABCD=AD,故SA平面ABCD.所以SAAB=A,所以SABD,又因为SAAB=A,则BD平面SAB.(2)解因为SA=AD=2,BE=DE=1,所以BDE的面积为12,又由(1)知SA平面ABCD,则VS-BDE=13122=13,又在RtSAB中,SA=2,AB=DB=2,则SB=6,由(1)知BDSB,所以SBD的面积为1226=3,设点E到平面SBD的距离为h,则13SBDSh=13,即h=33.5.(1)证明取AC的中点为O,连接BO,PO.
20、在PAC中,PA=PC,O为AC的中点,POAC,在BAC中,BA=BC,O为AC的中点,BOAC,OPOB=O,OP平面OPB,OB平面OPB,AC平面OPB,PB平面POB,ACBP.(2)解在直角三角形ABC中,由AC=2,O为AC的中点,得BO=1,在等腰三角形APC中,由APC=120,得PO=33,又PB=233,PO2+BO2=PB2,即POBO,又POAC,ACOB=O,PO平面ABC,由题可得PA=233,又AB=2,得SPAB=1222332-222=156.设点C到平面PAB的距离为h,由VP-ABC=VC-PAB,得13122232=13156h,解得h=355,故点C
21、到平面PAB的距离为355.6.(1)证明如图所示,取BD的中点F,BC的中点为G,连接AG,FG,EF,由题意可知,FG是BCD的中位线,所以FGAE,且FG=AE,即四边形AEFG为平行四边形,所以AGEF,又AE平面ABC,所以FG平面ABC,所以AGFG,又AGBC,BCFG=G,所以AG平面BCD,所以EF平面BCD,又EF平面BDE,故平面BDE平面BCD.(2)解过B作BKAC,垂足为K,因为AE平面ABC,所以BK平面ACDE,且BK=232=3,所以V四棱锥B-ACDE=1312(1+2)23=3,V三棱锥E-ABC=1312231=33,所以V三棱锥D-BCE=V四棱锥B-
22、ACDE-V三棱锥E-ABC=3-33=233,因为AB=AC=2,AE=1,所以BE=CE=5,又BC=2,所以SECB=1225-1=2,设所求的高为h,则由等体积法得132h=233,所以h=3.7.(1)证明连接AO,OC,AB=AD,D是BD中点,AOBD,BC=CD,D是BD的中点,COBD.在AOC中,由题设知AO=1,CO=3,AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC.AOBD,BDOC=O,AO平面BCD.(2)解取AC的中点M,连接OM,ME,OE,由E为BC的中点,知MEAB,OEDC,直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME中,EM=12AB=22,OE=12DC=1,OM是直角AOC斜边AC上的中线,OM=12AC=1,cosOEM=1+12-12122=24,异面直线AB与CD所成角大小的余弦值为24.(3)解设点E到平面ACD的距离为h.VE-ACD=VA-CDE,13SACDh=13SCDEAO,在ACD中,AD=2,CA=CD=2.SACD=1224-222=72,AO=1,SCDE=123422=32,h=SCDEAOSACD=32172=217,点E到平面ACD的距离为217.