1、第3章 空间向量与立体几何课标领航本章概述1.本章基本内容共包括六个小节：(1)空间向量的线性运算；(2)共面向量定理；(3)空间向量基本定理；(4)空间向量的坐标表示；(5)空间向量的数量积；(6)空间向量的应用这六个小节的知识相互联系，前面内容是后面内容的理论依据，后面内容不仅巩固、充实了前面内容，同时又发展、延拓、提升了对前面内容的认识和理解，从而形成了空间向量及其运算的知识体系2.本章主要讲述空间向量及其运算和向量的应用，其中空间向量及其运算是学习立体几何的基础知识，也是重点内容本部分内容对于同学们在已有的平面向量知识的基础上，建立空间向量的有关概念，实现从平面向量到空间向量观念的提升
2、和飞跃是至关重要的.学法指导1.在学习空间向量的知识时，要根据平面向量的相关知识，充分利用类比思想将平面向量推广到空间三维图形上来，建立空间向量的知识体系2.要学会多角度、全方位地认识事物看待同一问题时，注意抓住关键，总结规律向量法求解立体几何问题的关键就是基向量的选取和空间直角坐标系的建立，对于不同的问题，不同的空间图形，选取的基向量和建立的空间直角坐标系也是不同的3.注意将传统法与向量法进行对比，总结各自的优缺点，针对不同特点的问题，恰当地选取解题方法31 空间向量及其运算31.1 空间向量及其线性运算学习目标1.理解空间向量的概念，明确空间向量是平面向量的推广2掌握空间向量的加法、减法、
3、数乘运算3掌握共线(平行)向量的概念及共线向量定理 课堂互动讲练 知能优化训练 31.1课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1我们知道，平面内_的量叫做平面向量，平面向量可用_表示，平面向量可进行加、减和数乘运算既有大小又有方向有向线段2如果表示平面向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量叫做_或_，并规定零向量与_平行对平面内任意两个向量a、b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使_.共线向量平行向量任意向量ba1空间向量的概念在空间，我们把既有大小又有方向的量，叫做_2空间向量的线性运算向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算(1)三角形法则；(2)平行四边形法则知新益
4、能空间向量3运算律(1)加法交换律：_；(2)加法结合律：_；(3)数乘分配律：_4共线向量定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，a与b共线的充要条件是存在实数，使ab.abba(ab)ca(bc)(ab)ab(R)(2)对于空间任意两个向量a，b(b0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：ab存在惟一实数使ab；存在惟一实数，使abab.是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理，若要用此结论判定a、b的基线平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上提示：成立已知空间四边形 ABCD，则AB BC CD DA 0 还成立吗？问题探究 课堂互动讲练 考点突破 空间向量
5、的概念辨析题 熟记有关的概念，对易混淆的概念要准确把握，判断命题的真假才不会出错给出以下几种说法：若|a|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|空间向量的减法满足结合律在四边形 ABCD 中，一定有AB AD AC其中正确说法的序号是_例1【答案】【解析】|a|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定，对于 a 的相反向量 ba，故|a|b|，从而正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB AD AC，只有平行四边形才能成立故均不正确【名师点评】(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量
6、(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键加减运算主要借助于三角形，加法满足首尾相连；减法满足共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点空间向量的加减运算 如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是上底面 A1C1 的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)AB BC C1C；(2)12AB 12DA A1A.例2【思路点拨】化简向量时，一般先利用平行四边形得到相等向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简【解】(1)AB
7、 BC C1C AB BC CC1AC CC1 AC1.(2)12AB 12DA A1A 12(AB AD)AA112AC AA1 A1E AA1 AE.向量AC1，AE 如图所示【名师点评】掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率自我挑战1如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：(1)AA1 A1B1；(2)12A1B1 12A1D1；(3)AA1 12A1B1 12A1D1；(4)AB BC CC1 C1A1 A1A.解：(1)AA1 A1B1
8、 AB1.(2)12A1B1 12A1D1 12(A1B1 A1D1)12A1C1 A1M.(3)AA1 12A1B1 12A1D1 AA1 A1M AM.(4)AB BC CC1 C1A1 A1A 0.类似于平面向量共线的充要条件，对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.共线向量(本题满分 14 分)如图所示，ABCD、ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点判断CE 与MN是否共线例3【思路点拨】要判断CE 与MN 是否共线，由共线向量定理就是判断是否存在实数 x 使CEx MN.若存在，则CE 与MN 共线，否则CE 与MN 不共
9、线【规范解答】M、N 分别是 AC、BF 的中点，而四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形，MN MA AF FN 12CA AF 12FB.6 分又MN MC CE EB BN 12CA CE AF 12FB，12CA AF 12FB12CA CE AF 12FB.11 分CE CA 2 AF FB 2(MA AF FN)CE 2 MN.CE MN，即CE 与MN 共线.14 分【名师点评】(1)判定两向量共线就是找x使axb，充分运用空间向量运算法则并结合空间图形，化简得出axb，从而得出ab；(2)证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然后观察图形找出在一直线上有一点
10、不在另一直线上，则两直线平行自我挑战2如图所示，正方体AC1中，M，N分别为棱D1C1，B1C1的中点，求证M，N，B，D四点共面证明：MN 12D1B1 12DB，MN，DB 共线从而可知 MNBD.M，N，B，D 四点共面1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：方法感悟(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2向量等式的证明，就是向量化简的过程，可以由一端证到另一端，也可以两端同时证到至“中间”向量表达式，从而达到证明等式的目的3共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a、b，若存在实数x，使axb(b0)，则ab，可以作为以后证明线线平行的依据，但必须a(或b)上有一点不在b(或a)上知能优化训练 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用