1、1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考试要求】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定【知识梳理】1简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示3全称命题和特称命题将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表
2、示，变量x的取值范围用M表示名称全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)【常用结论】1逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题2含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”3命题p与p的否定的真假性相反【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)命题“32”是真命题()(2)命题p和綈p不可能都是真命题()(3)“三角形的内角和为180”是特称命题()(4)命题“x0R，sin2cos2
3、”是真命题()【教材题改编】1已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题2“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形3命题“x1,2，x2xa0”为真命题，则实数a的取值范围是_答案解析x1,2，x2xa0，ax2x.当x时，(x2x)min，a.题型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2021全国乙卷)已知命题p：xR，sin x1；命题q：xR，e|x|1.则下列命题中为真命题的是()Apq B綈pqCp綈q
4、 D綈(pq)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在xR，使得sin x0，解得1k2，故命题p：k(1,2)，方程1都表示双曲线，为真命题，抛物线y4x2的焦点坐标为，故命题q为假命题，故A，B错误；所以綈q为真命题，綈p为假命题，所以p(綈q)为真命题，(綈p)q为假命题题型二含一个量词的命题命题点1含有一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：n0N，n2n05，则綈p为()AnN，n22n5Bn0N，n2n05CnN，n22n5Dn0N，n2n05答案C解析由特称命题的否定可知，綈p为nN，n22答案B解析A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x0时，x20，满足
5、x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中，因为()0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有2，所以D是假命题(2)下列命题是真命题的是_(填序号)aR，使函数y2xa2x在R上为偶函数；xR，函数ysin xcos x的值恒为正数；xR，x4nBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0答案B解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0”的否定形式是“nN*，f(n)N*或f(n)n”2(2022重庆模拟)下列命题为真命题的是()AxR，x2|x|10BxR，
6、11Cx0R，(ln x0)20Dx0R，sin x03答案C解析对于A，因为x2|x|120恒成立，所以xR，x2|x|10是假命题；对于B，当x时，2，所以xR，11是假命题；对于C，当x1时，ln x0，所以x0R，(ln x0)20是真命题；对于D，因为1sin x1，所以x0R，sin x03是假命题思维升华含量词命题的解题策略判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x，使p(x)成立即可当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假跟踪训练2(1)(2022哈尔滨模拟)命题
7、“n3，nN*，xnynzn无正整数解”的否定是()An3，nN*，xnynzn有正整数解Bn3，nN*，xnynzn有正整数解Cn03，n0N*，有正整数解Dn03，n0N*，有正整数解答案D解析因为命题“n3，nN*，xnynzn无正整数解”是全称命题，其否定为特称命题，于是得该命题的否定为“n03，n0N*，有正整数解”(2)下列四个命题：p1：xR，2x10；p2：x(0，)，sin xcos x；p3：x0(，0)，2x03x0；p4：x0(0，)，.其中真命题是()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析p1为真命题；当x时，sin x0，故2x03x0，所以
8、p3为假命题；由yx及y的图象(图略)知，p4为真命题题型三根据命题的真假求参数的范围例4(1)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x2ax02a0”若命题“(綈p)q”是真命题，则实数a的取值范围是()Aa2或a1 Ba2Ca1 D2a1答案C解析当命题p为真时，即“x1,2，x2a0”，即当x1,2时，(x2a)min0，又当x1时，x2a取最小值1a，所以1a0，即a1，当命题q为真时，即“x0R，x2ax02a0”，所以4a24(2a)0，所以a2或a1，又命题“(綈p)q”是真命题，所以p假q真，即即实数a的取值范围是a1.(2)已知f(x)ln(x21)，g(x)
9、xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_答案解析当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.延伸探究本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_答案解析当x1,2时，g(x)maxg(1)m，由f(x)ming(x)max，得0m，m.【备选】若命题“x1,4，x24xm0”是假命题，则m的取值范围是()A4m3 Bm0，对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若pq为真，pq为假，则实数a的取值范围是_答案(
10、，21,2)解析若命题p为真，则4a2160，2a1，a1.pq为真，pq为假，则p真q假或p假q真；或1a2或a2，实数a的取值范围为1a解析因为命题“x0R，使axx020”是假命题，所以命题“xR，使得ax2x20”是真命题，当a0时，得x0”是假命题，不符合题意；当a0时，得解得a.课时精练1命题“x0，xsin x0，xsin x2x1Bx00，x0sin x01Cx0，xsin x0，xsin x0，x0sin x01”2“pq是真命题”是“pq是真命题”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若pq是真命题，则p，q都是真命题，则pq为真命
11、题；若pq为真命题，则p，q至少有一个为真命题，当p真q假时，pq为假命题，故pq为真命题推不出pq为真命题3命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()AxR，1f(x)2Bx0R，12DxR，f(x)1或f(x)2答案D解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x0R，12”4下列命题的否定是真命题的是()A有些实数的绝对值是正数B所有平行四边形都不是菱形C任意两个等边三角形都是相似的D3是方程x290的一个根答案B解析所有平行四边形都不是菱形为假命题，所以其否定为真命题5若命题“pq” 与命题“(綈p)q”都是假命题，则()Ap真q真 Bp真q假Cp假q真 Dp假q假答案B解析因为命
12、题“pq”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则綈p为真命题，则(綈p)q为真命题，与命题“(綈p)q”是假命题矛盾，故必有p为真命题，q为假命题6下列命题为真命题的是()Ax0R，ln(x1)2，2xx2C，R，sin()sin sin Dx0R，sin x0cos x0答案C解析x211，ln(x21)ln 10，故A为假命题；当x4时，2xx2，故B为假命题；当0时，sin()0sin sin ，故C为真命题；sin x0cos x0sin，sin x0cos x0，故D为假命题7命题p：ABC中，若sin A，则cos A.命题q：函数y|x1|在(2，)上单调递增下
13、列命题是真命题的为()Apq BpqCp(綈q) D綈q答案B解析ABC中，sin A，则A30或150，cos A，故p为假命题，函数y|x1|的单调递增区间为(1，)，该函数在(2，)上单调递增，故q为真命题，pq为真命题8(2022西北师大附中质检)已知命题p：x0R，mx10，命题q：xR，x2mx10.若pq为假命题，则实数m的取值范围为()A2m2 Bm2或m2Cm2 Dm2答案D解析命题p：x0R，mx10为假命题，所以m0，命题q：xR，x2mx10，所以m240，解得2m2，由于该命题为假命题，所以m2或m2.当p，q为假命题时，即m2.9命题“有些三角形是等腰三角形”的否定
14、是_答案所有的三角形都不是等腰三角形10若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析函数ytan x在上是增函数，ymaxtan 1，依题意，mymax，即m1.m的最小值为1.11给出以下命题：x0R，sin2cos2；对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2；命题“x0R，0”的否定是“xR，x10”；xR，cos xx.其中是真命题的是_(填序号)答案解析sin2cos21，故为假命题；因为tan，故为假命题；命题“x0R，0”等价于“x0R，x010,2xa0.若“綈p”和“pq”都是假命题，则实数a的取值范围是_答案 (1,2)解析若方程x2ax
15、10没有实根，则判别式a240，即2a2，即p：2a0,2xa0，则a0时，2x1，则a1，即q：a1.因为綈p是假命题，则p是真命题因为pq是假命题，则q是假命题，即得1a0且a1)的图象恒过定点(0,1)；命题q：当t(2,2)时，函数g(x)x23tx1在区间(3,3)上存在最小值则下列命题为真命题的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)答案C解析f(x)ax1，当x1时，f(1)a111，所以其图象恒过定点(1,1)，故命题p为假命题；g(x)x23tx121t2，因为t(2,2)，所以t(3,3)，所以二次函数对称轴在区间(3,3)之内，当xt时，g(x)取得最小
16、值，故命题q为真命题所以pq是假命题，p(綈q)是假命题，(綈p)q是真命题，(綈p)(綈q)是假命题15已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”是假命题，则f(ab)_.答案0解析“x0(a，b)，f(x0)f(x0)0”的否定是“x(a，b)，f(x)f(x)0”，依题意得，命题“x(a，b)，f(x)f(x)0”为真命题，故函数yf(x)，x(a，b)为奇函数，ab0，f(ab)f(0)0.16若f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)，则实数a的取值范围是_答案解析设f(x)x22x，g(x)ax2(a0)在1,2上的值域分别为A，B，则A1,3，Ba2,2a2，由题意可知a，又a0，0a.
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