1、三十七空间点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(多选题)下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C两条平行直线可以确定一个平面D两条相交直线可以确定一个平面CD解析：A错误，不共线的三点可以确定一个平面B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面CD正确2(多选题)下列说法正确的是()A梯形的四个顶点共面B三条平行直线共面C有三个公共点的两个平面重合D三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面AD解析：A显然正确；B错误，三条平行直线可以确定1个或3个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故C错误；D显然正确故选AD.3如图，在
2、正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直 BMN与AC垂直CMN与BD平行 DMN与A1B1平行D解析：连接B1C，B1D1(图略)，因为点M，N分别是D1C，B1C的中点，所以MN是B1CD1的中位线，所以MNB1D1.因为CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，所以MNCC1，MNAC，MNBD.又因为A1B1与B1D1相交，所以MN与A1B1不平行故选D.4如图，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BCC解析：由题意知，Dl，l，所以D.又因为DA
3、B，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5(多选题)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABBC，E，F分别为棱PB，PC的中点，过E，F的平面分别与棱AB，AC相交于点D，G，则()AEFDGBPAEDCEDDGDACFGAC解析：对于A，因为E，F分别为棱PB，PC的中点，所以EFBC.又EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF平面ABC.又平面EFGD平面ABCDG，由线面平行的性质定理可知，EFDG，故A正确对于B，当截面EFGD与棱AB的交点D是AB的中点时，PAED，否则PA与ED相
4、交，故B错误对于C，由PA底面ABC，可得PADG.由EFDG，可得DGBC.又ABBC，所以ABDG.又PAABA，所以DG平面PAB，所以EDDG，故C正确对于D，只有当截面EFGD与AC的交点G是AC的中点时，PAFG，此时可得ACFG，否则AC与FG不垂直，故D错误故选AC.6(多选题)(2021八省联考)如图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()AAECDBCHBECDGBHDBGDEBCD解析：由正方体的平面展开图还原正方体如图由图形可知，AECD，故A错误；由HEBC，HEBC，知四边形BCHE为平行四边形，所以CHBE，故B正确；因为DGHC，DGBC，HCBCC，
5、所以DG平面BHC.又因为BH平面BHC，所以DGBH，故C正确；因为BGAH，而DEAH，所以BGDE，故D正确故选BCD.7在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_平行解析：如图，连接SG1并延长交AB于点M，连接SG2并延长交AC于点N，连接MN，G1G2.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，所以在SMN中，所以G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，所以MNBC，所以G1G2BC.8在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_或解析：如
6、图，取BC的中点O，连接OE，OF.因为OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或其补角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D B1C，AC与A1D所成的角就是B1CA或其补角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.即A1D与AC所成的角为
7、60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.10(2019上海高考改编)如图，在正三棱锥PABC中，PAPBPC2，ABBCAC.(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；(2)求三棱锥PABC的体积解：(1)因为M，N分别为PB，BC的中点，所以MNPC，则PCA为AC与MN所成角在PAC中，由PAPC2，AC，可得cosPCA，所以AC与MN夹角的余弦值为.(2)过点P作底面的垂线，垂足为O，则点O为底面三角形的中心，
8、连接AO并延长，交BC于点N，则AN，AOAN1.所以PO.所以VPABC.B组新高考培优练11(多选题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等ABC解析：连接AC，BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1，所以ACBE，EF平面ABCD，从而A，B正确；又BEF的面积为定值，点A到平面BB1D1D的距离为定值，所以三棱锥ABEF的体积为定值，故C正确；因为点A到B1D1的距离不等于BB1，所以AEF的面积与BEF的面积不相等，故D错误故选ABC.1
9、2(多选题)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是()A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DEABD解析：取DC的中点F，连接MF，BF，MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以点M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得A，B正确由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得D正确A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，
10、AC与DE不垂直，可得C不正确13在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条无数解析：(方法一)在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示(方法二)在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都
11、相交14如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BEFH，所以AFH即为异面直线AF与BE所成的角过点A作AGEF于点G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三角形设正方形边长为2，则EF，HE，EG，AG，所以HG，所以AH.由余弦定理知cosAFH.15如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)
12、C，D，E，F四点是否共面？为什么？(3)证明：直线FE，AB，DC相交于一点(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GHAD且GHAD.又BCAD且BCAD，故GHBC且GHBC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)解：C，D，E，F四点共面理由如下：由BEAF且BEAF，G是FA的中点知，BEGF且BEGF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以四边形ECHF为平行四边形，所以ECFH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面(3)证明：由(2)可知，ECDF.所以四边形ECDF为梯形所以FE，DC交于一点设FEDCM.因为MFE，FE平面ABEF，所以M平面ABEF.同理M平面ABCD.又平面ABEF平面ABCDAB，所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点
