1、二十七正弦定理与余弦定理的应用(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 n mileB10 n mileC5 n mileD5 n mileC解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，C30，B120，AC15.由正弦定理，得，即AB5，所以这时船与灯塔的距离是5 n mile.2在ABC中，已知AC，ABC60，ABc，解得a3，c2.设BC边上的高为h，所以hcsin 60.
2、3某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 n mile/h的速度由A处出发，沿北偏东60方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45方向有一艘船C.若船C位于A处北偏东30方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A5() n mile B5() n mileC10() n mile D10() n mileD解析：如图，由题意得AB20，BAC30，ABC75.所以ACB75，由正弦定理，得BC10() n mile，故缉私艇B与船C的距离为10() n mile.4小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据BC10 m，B处的仰角60，C处的仰角45，
3、cosBAC，BOC30中选取合适的，计算出旗杆的高度为()A9 mB10 mC10 mD10 mD解析：选.设旗杆的高度OAh，则OCh，OB.在BOC中，由余弦定理得BC2OB2OC22OBOCcosBOC，即1022h22h，解得h10.5我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积则该沙田的面积为_平方里84解析：如图，由题意画出ABC，且AB13，BC14，AC15.在ABC中，由余弦定理得，cos
4、 B，所以sin B，则该沙田的面积SABBCsin B131484(平方里)6如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为_n mile.20解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，所以CAD45，ADB60.在ACD中，由正弦定理，得，所以AD20.在RtBCD中，因为BDC45，BCD90，所以BDCD40.在ABD中，由余弦定理，得AB28003 2002204
5、0cos 602 400(n mile)，即AB20(n mile)7如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米a解析：由题图可得PAQ30，BAQ15，在PAB中，PAB15.又PBC60，所以BPA(90)(90)30，所以，所以PBa，所以PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a.8在社会实践中，小明观察一棵桃树他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度
6、(精确到0.01米，其中1.732)解：(1)在ABC 中，CAB45.又DBC75，则ACB754530.由正弦定理得，将AB4代入上式，得 BC4(米)(2)在CBD中，CBD75，BC4，所以CD4sin 75.因为sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以CD22，所以CE221.703.7027.16(米)所以这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米B组新高考培优练9如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的
7、大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()A. B.C. D.D解析：由已知，在RtABC中，sinACB，则cosACB.作PHBC，垂足为H，连接AH，如图所示设PHx m，则CHx m，在ACH中，由余弦定理得AH，tanPAH，当时，tan 取得最大值，最大值为.10(多选题)如图，设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，(acos Cccos A)2bsin B，且CAB.若点D是ABC外一点，DC1，DA3，下列说法正确的是()AABC的内角BBABC的内角CC四边形ABCD面积的最大值为3D四边形ABCD面积
8、无最大值ABC解析：因为(acos Cccos A)2bsin B，所以(sin Acos Csin Ccos A)2sin2B，所以sin(AC)2sin2B，所以sin B2sin2B，所以sin B.因为CAB，所以B，所以B，所以CAB，因此A，B正确S四边形ABCDSABCSACDAC2ADCDsinADC(AD2CD22ADCDcosADC)ADDCsinADC(916cosADC)3sinADC(sin ADCcos ADC)3sin3，因此C正确，D错误故选ABC.11若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_，的取值范围是_(2，)解析：由余弦定理得cos B，所以
9、a2c2b22accos B.又因为S(a2c2b2)，所以acsin B2accos B，所以tan B，所以B.又因为C为钝角，所以CA，所以0A.由正弦定理得.因为0tan A，所以2，即2.12海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C处，沿东偏南15的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为_小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时，如图，在ABC中，AC10海里，AB21x海里，BC9x海里，ACB120.由余弦定理得(21x)2100(9x)22109x
10、cos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时13(2020济南一模)如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为的圆上，且BCD.(1)求BD的长度；(2)若AD3，ADB2ABD，求ABD的面积解：(1)由题意可知BCD的外接圆半径R.由正弦定理得2R2，解得BD5.(2)在ABD中，设ABD，为锐角，则ADB2.因为，所以，所以AB6cos .因为AD2AB2BD22ABBDcos ，所以936cos22560cos2，所以cos ，则AB6cos 2，sin ，所以SABDABBDsin 5.14(2020北京
11、卷)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.解：选择条件.(1)因为c7，cos A，ab11，a2b2c22bccos A，所以a2(11a)2722(11a)7，即19224a0，解得a8.(2)因为cos A，A(0，)，所以sin A.由正弦定理得，所以，所以sin C.Sabsin C(118)86.选择条件.(1)因为cos A，cos B，A，B(0，)，所以sin A，sin B.由正弦定理得，所以，所以a6.(2)sin Csin(AB)sin Acos Bsin Bcos A，所以Sabsin C(116)6.
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