1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第1节 平面向量的概念及线性运算第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.通过对力、速度、位移等的分析，了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义2.理解向量的几何表示和基本要素3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算法则，理解其几何意义4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义理解两个平面向量共线的含义5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义1.平面向量的基本概念，发展数学抽象素养2.平面向量的线性运算，增强直观想象和数学运算
2、素养3.向量共线定理及其应用，提升数学抽象和数学运算素养 平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点，尤其是向量的线性运算出现的频率较高有时与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题题型以选择题、填空题为主，属中低档题考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有 方向 的量；向量的大小叫做 向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是 任意的 记作 0 考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关单位向量 长度等于 1 个单位 的向量非零向量 a 的单位向量为 a|a|平行向量方向 相同 或 相反 的非零向量
3、共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量 平行 或共线考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关相等向量长度 相等 且方向 相同 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 相等 且方向 相反 的向量0 的相反向量为 0考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算叫做 a 与b 的和(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)c a(bc)考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b的差aba(b)数乘求实数 与向量a 的积的运算(
4、1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向 相同；当 0 时，a 的方向与a 的方向 相反；当 0 时，a 0(1)结合律(a)()a；(2)分配律()aaa；(ab)ab考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4An1AnA1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP
5、 12(OA OB)3若 A、B、C 是平面内不共线的三点，则PAPBPC0P为ABC 的重心考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关()考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关(5)已知两向量 a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(6)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线
6、上()(7)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1如图所示，向量 ab 等于()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2D3e1e2解析：C 由题图可得 abBAe13e2.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2若|AB|AD|，且BACD，则四边形 ABCD 的形状为()A不是菱形的平行四边形B不是正方形的矩形C菱形D等腰梯形解析：C 因为BACD，所以四边形 ABCD 为平行四边形又因为|AB|AD|，所以四边形 ABCD 为菱形考点层级突破第四章基础自主夯实课时
7、分组冲关3在ABC 中，ABc，ACb.若点 D 满足BD 2DC，则AD()A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c解析：A 如图所示，可知AD AB23(AC AB)c23(bc)23b13c.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关4(人教 A 版教材习题改编)化简：(1)(ABMB)BO OM _.(2)NQ QP MN MP _.答案：(1)AB(2)0考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关5已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.答案：13 考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点一 平面向量的基本概念(自主
8、练透)数学抽象平面向量有关概念中的核心素养通过力、速度、位移等物理概念获得向量有关概念，让学生学会从具体情境中抽象出数学概念、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关题组集训1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则 必为零，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()A1 B2 C3 D4考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析：C 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点；正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不
9、能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；错误当 a0 时，不论 为何值，a0；错误当 0 时，ab，此时 a 与 b 可以是任意向量考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是 _.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边
10、形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，AB DC.故“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故“|a|b|且 ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关对于向量的概念应注意以下几条(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向
11、线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点二 平面向量的线性运算(课堂共研)典例(1)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.AD B.12AD C.BC D.12BC解析 A EBFC 12(ABCB)12(ACBC)12(ABAC)AD，故选 A.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关(2)设 D，E 分别是ABC 的边 A
12、B，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为 _.解析 DE DB BE12AB23BC 12AB23(BAAC)16AB23AC，所以 116，223，即 1212.答案 12考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关互动探究若典例(2)条件变为：若AD 2DB，CD 13CA CB，则 _.解析：CD CAAD，CD CBBD，2CD CACBADBD.又AD 2DB，2CD CA CB 13ABCA CB 13(CB CA)23CA43CB.CD 13CA23CB，即 23.答案：23考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关向
13、量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练1已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m使得ABACmAM 成立，则 m()A2 B3 C4D5解析：B 由MA MB MC 0，易得 M 是ABC 的重心，且重心 M 分中线 AE 的比为
14、AMME21，ABAC2AEmAM 2m3 AE，2m3 2，m3.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2(2019乐山市一模)在三角形 ABC 中，点 E，F 满足AE12AB，CF2FA，若EFxAByAC，则 xy _.解析：因为点 E，F 满足AE12AB，CF2FA，所以EFxAByACEAAF12BA13AC12AB13AC，所以 x12，y13，则 xy121316.答案：16考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点三 向量共线定理及其应用(子母变式)母题 设向量 e1 和 e2 不共线若ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1ke2，且 A，C，F 三点共线，则实
15、数 k 的值为 _.解析 ABe1e2，BC 2e13e2，ACABBC 3e12e2.A，C，F 三点共线，ACAF，从而存在实数，使得ACAF.3e12e23e1ke2，又 e1，e2 是不共线的非零向量，33，2k，因此 k2.答案 2考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关子题 1 在本例条件下，若 ke1e2 与 e1ke2 共线则实数 k的值为 _.解析：ke1e2 与 e1ke2 共线，存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，即 ke1e2e1ke2，k，1k，解得 k1.答案：1考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关子题 2 在本例条件下，如果ABe1e2，BC3e12e2，CD 8e12e2，求证：A，C，D 三点共线证明：ABe1e2，BC3e12e2，ACABBC4e1e2，又CD 8e12e2，CD 2AC，AC与CD 共线又AC与CD 有公共点 C，A，C，D 三点共线考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若 a，b 不共线，则 ab0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若ABAC，则 A，B，C 三点共线考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关