1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 等差数列及其前n项和第五章 数列考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题4.体会等差数列与一元一次函数的关系1.等差数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养2.等差数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养3.等差数列的性质，提升逻辑推理和数学运算素养等差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等差数列的性质是高考的热点，以求a
2、1、d、an、Sn为主要考查内容高考题型多样，以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算和性质，难度不大在解答题中常与等比数列、数列求和等问题综合考查，难度中等考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关1等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式：an1and(nN*，d 为常数)，或 anan1d(n2，d 为常数)考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(2)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A ab2 .数列an
3、是等差数列2anan1an1(n2，nN*)2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1(n1)d.推广：anam(nm)d(m，nN*)等差数列的通项公式与函数的关系 andn(a1d)是关于 n的一次函数数列an是等差数列anpnq(p，q 为常数)考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(2)等差数列的前 n 项和公式Snna1an2 na1nn12d(其中 nN*，a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项)推广：等差数列的前n项和公式与函数的关系 Snd2n2a1d2n 是关于 n 的二次函数，且常数项为 0.数
4、列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数)考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关3等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn 是an的前 n 项和(1)当 mnpq 时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若 mn2p，则 aman2ap(m，n，pN*)(2)等差数列an的单调性：当 d0 时，an是 递增 数列；当 d0 时，an是 递减 数列；当 d0 时，an是 常数列.(3)若an是等差数列，公差为 d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为 md(k，mN*)(4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差
5、数列，公差为 m2d.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关4等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最 大 值；若 a10，d0，则 Sn 存在最 小 值考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关 已知an为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前n 项和1有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即 a1ana2an1a3an2akank1.2.Snn 也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的12.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关3在等差数列an中，(1)若项数为偶数 2n，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)；S 偶
6、S 奇nd；S奇S偶 anan1.(2)若项数为奇数 2n1，则 S2n1(2n1)an；S 奇S 偶an；S奇S偶 nn1.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关4若数列an与bn均为等差数列，且前 n 项和分别是 Sn 和 Tn，则S2n1T2n1anbn.5若数列an，bn是公差分别为 d1，d2 的等差数列，则数列pan，anp，panqbn都是等差数列(p，q 都是常数)，且公差分别为 pd1，d1，pd1qd2.6若 amn，anm(m0)，则 amn0.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若
7、一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(4)数列an为等差数列的充要条件是其前 n 项和公式为n 的二次函数()(5)数列an满足 an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1(2016全国卷)已知等差
8、数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100 B99 C98 D97解 析：C 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d，由 已 知 得9a136d27，a19d8，所以a11，d1，所以 a100a199d19998.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关2(2019荆州市一模)在等差数列an中，若 a3a4a53，a88，则 a12 的值是()A15 B30 C31 D64解析：A 设等差数列an的公差为 d，a3a4a53，a88，3a43，即 a13d1，a17d8，联立解得a1174，d74.则 a12174 741115.考点层级突破第五章基础自主夯实
9、课时分组冲关3(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和已知 S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28nDSn12n22n解析：A 设an的公差为 d，则4a16d0，a14d5，解得 a13，d2.an3(n1)22n5，Sn3nnn122n24n，故选 A.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关4(北师大版教材例题改编)已知等差数列an，a520，a2035，则 an _ 答案：15n考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关5已知数列an中，a11 且 1an1 1an13(nN*)，则 a10 _.解析：由 1an1 1an13知，数列 1an
10、为等差数列，则 1an113(n1)，即 an 3n2.a10310214.答案：14 考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关考点一 等差数列的基本运算(自主练透)数学建模等差数列实际应用中的核心素养以等差数列的知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并接受实际的检验，发展数学建模的素养考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关题组集训1(2017全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解析：C 设公差为 d，则 a4a5a13da14d24，S66a1652 d
11、48，联立得2a17d24 ，6a115d48，3得(2115)d24,6d24，所以 d4.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关2(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和若 a35，a713，则 S10_.解析：本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和.a3a12d5a7a16d13，得a11d2，S1010a11092d10110922100.答案：100考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关3(2019咸阳市一模)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下
12、问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5 人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得()A三分鹿之一B三分鹿之二C一鹿D一鹿、三分鹿之一解析：A 五人分得的鹿构成等差数列an，d0.a112353，S55，553542 d5，解得 d13，a55313413.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个
13、就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关考点二 等差数列的判定与证明(子母变式)母题 若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 是等差数列；(2)求数列an的通项公式破题关键点(1)将 an2SnSn10(n2)转化为 Sn 与 Sn1 的关系等式；(2)先求出 Sn，再利用 an 与 Sn 的关系求 an.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关解
14、析(1)证明：当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(2)由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当 n1 时，a112不适合上式故 an12，n1，12nn1，n2.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关子题 1 将母题条件“an2SnSn10(n2)，a112”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解解：(1)证明：当 n2 时，
15、anSnSn1 且 Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即 SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12，公差为12的等差数列考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(2)由(1)知 1Snn2，Sn2n，当 n2 时，anSnSn12nn1当 n1 时，a12 不适合上式，故 an2，n1，2nn1，n2.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关子题 2 已知数列an满足 2an1anan11(n2)，a12，证明数列1an1 是等差数列，并求数列an的通项公式解：当 n2 时，an2 1an
16、1，1an11an1112 1an111an1111 1an11an11 an1an111an11an11an111(常数)又1a111.数列1an1 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列1an11(n1)1，ann1n.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 anan1 为同一常数(2)等差中项法：验证 2anan1an1(n2，nN*)都成立(3)通项公式法：验证 anpnq.(4)前 n 项和公式法：验证 SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断提醒：要
17、注意定义中的“从第 2 项起”如果一个数列不是从第2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关考点三 等差数列的性质(师生共研)典例(1)下面是关于公差 d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关解析：命题判断过程结论p1：数列an是递增数列.由 an1and0，知数列an是递增数列真命题
18、p2：数列nan是递增数列由(n1)an1nan(n1)(a1nd)na1(n1)da12nd，仅由 d0 是无法判断 a12nd 的正负的，因而不能判定(n1)an1，nan 的大小关系.假命题考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关p3：数列ann是递增数列显然，当 ann 时，ann 1，数列ann是常数数列，不是递增数列.假命题p4：数列an3nd是递增数列数列的第 n1 项减去数列的第 n 项an13(n1)d(an3nd)(an1an)3(n1)d3ndd3d4d0.所以 an13(n1)dan3nd，即数列an3nd是递增数列真命题答案 D考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组
19、冲关(2)一个等差数列an的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和 S 偶与前 12 项中奇数项的和 S 奇之比为3227，则公差 d _.解析 由题意，可知S偶S奇354，S偶S奇3227，S偶192，S奇162.又项数为 12 的等差数列中 S 偶S 奇6d192162，d5.答案 5考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关(3)(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和已知 S9a5.若 a34，求an的通项公式；若 a10，求使得 Snan 的 n 的取值范围解析 设an的公差为 d，由 S9a5得 a14d0.由 a34 得 a12d4.于是 a18，d
20、2.因此an的通项公式为 an102n.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关由得 a14d，故 an(n5)d，Snnn9d2.由 a10 知 d0，故 Snan等价于 n21ln100，解得 1n10，所以 n 的取值范围是n|1n10，nN 答案 an102n n|1n10，nN考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关利用等差数列性质的常见题型与求解策略求基本量(1)关键是将性质 mnpqamanapaq 与前 n 项和公式 Snna1an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程(2)利用等差数列奇数项和与偶数项和的性质：项数为偶数 2n 的等差数列an：S2nn(a1a2n)n(
21、anan1)，S 偶S 奇nd，S奇S偶anan1；项数为奇数(2n1)的等差数列an：S2n1(2n1)an1，S奇S偶n1n(其中 S 奇、S 偶分别表示数列an中所有奇数项、偶数项的和)考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关求前 n项和的最值(1)若 a10，d0，且满足an0，an10，前 n 项和 Sn 最大(2)若 a10，且满足an0，an10，前 n 项和 Sn 最小(3)除上面方法外，还可将an的前 n 项和最值问题看作 Sn 关于 n的二次函数最值问题(公差不为零)，利用二次函数的图象或配方法求解，注意 nN*.确定单调性公差 d0 时为递增数列，且当 a10 时，前 n 项和 Sn 有最小值；d0 时，前 n 项和 Sn 有最大值.考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第五章基础自主夯实课时分组冲关
