1、考点集训(六十)第60讲折叠问题与探究性问题1点A，B平面，点P平面，线段AP，BP在内的射影长分别是3和5，则线段AB的最大值和最小值分别是A8和2 B4和4 C5和3 D无最值2如图，边长为4的等边三角形ABC中，ADBC于D，将ABD沿AD折起，使得折后二面角BADC的大小为60，则点D到平面ABC的距离为A. B.C. D.3过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，这样的直线可以作A1条 B2条C3条 D4条4如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且
2、满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为5在ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60角，则B，D两点间的距离为_6如图：四棱锥PABCD中，PAAD，ADBC，PC.ADBC，ABAC.BAD150，PDA30.(1)证明：PA平面ABCD；(2)在直线PD上是否存在一点F，使平面FBC与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，指出F点的位置，若不存在，请说明理由7在正方体ABCDEFGH中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)证明：直线MN平面BDH；(2)求二面角AEGM的余弦值8如图1，ACB45，BC3，过点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异
3、于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小第60讲折叠问题与探究性问题【考点集训】1A2.A3.D4.A5.2或6【解析】(1)取线段BC中点E，连结AE.因为AD，PDA30，所以PA1.因为ADBC，BAD150，所以B30，又因为ABAC，所以AEBC，而BC2，所以ACAB2.因为PC，所以PC2PA2AC2，即PAAC，因为PAAD，且ADACA，所以PA平面ABCD.(
4、2)以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：则P，B，C，D四点坐标分别为：P(0，0，1)，B(1，0)，C(1，0)，D(0，0)设F(x0，y0，z0)；因为点F在直线PD上，设，所以即F(0，1)，所以(1，1)设平面FBC的法向量为m(x，y，z)由m0，m0，得m(1，0，1)设平面PBC的法向量u(x1，y1，z1)所以u0，u0，所以所以u(1，0，1)，因为平面FBC与平面PBC所成角的余弦值等于，所以.所以，即3.所以当(3)时，平面FBC与平面PBC所成角的余弦值为.7.【解析】(1)如图(1)，连接BD，设O为BD的中点因
5、为M，N分别是BC，GH的中点，所以OMCD，且OMCD，HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN.所以四边形MNHO是平行四边形，从而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(2)方法一：如图(1)，连接AC，过M作MPAC于P.在正方体ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.过P作PKEG于K，连接KM，所以EG平面PKM，从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角设AD2，则CM1，PK2.在RtCMP中，PMCMsin 45.在RtPKM中，KM.所以cosPKM，即二面角AEGM的余弦值为.方法二：如图(2)，以D为坐标原点，分别以，的方向为x，
6、y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.设AD2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以(2，2，0)，(1，0，2)设平面EGM的一个法向量为n1(x，y，z)，由得取x2，得n1(2，2，1)在正方体ABCDEFGH中，DO平面AEGC，则可取平面AEG的一个法向量为n2(1，1，0)，所以cosn1，n2，故二面角AEGM的余弦值为.8【解析】(1)在如图1所示的ABC中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，
7、所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)，于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)，当且仅当2x3x，即x1时，等号成立，故当x1，即BD1时，三棱锥ABCD的体积最大(另：VABCDADSBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1，3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值故当BD1时，三棱锥ABCD的体积最大)(2)解法一：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz，由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2.于是可得D(0，0，
8、0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，M(0，1，1)，E，且(1，1，1)设N(0，0)，则.因为ENBM等价于0，即(1，1，1)10，故，N.所以当DN(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM.设平面BMN的一个法向量为n(x，y，z)，由及，得，可取n(1，2，1)设EN与平面BMN所成角的大小为，则由，n(1，2，1)，可得sin cos(90)，即60.故EN与平面BMN所成角的大小为60.解法二：由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MFAD，EFBD.由(1)知AD平面BCD
9、，所以MF平面BCD.如图c，延长FE至P点使得FPDB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DPBF，取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则ENDP，所以ENBF.因为MF平面BCD，又EN平面BCD，所以MFEN.又MFBFF，所以EN平面BMF.又BM平面BMF，所以ENBM.因为ENBM当且仅当ENBF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的即当DN(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM，连接MN，ME，由计算得NBNMEBEM，所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM平面EGN.在平面EGN中，过点E作EHGN于H，则EH平面BMN.故ENH是EN与平面BMN所成的角在EGN中，易得EGGNNE，所以EGN是正三角形，故ENH60，即EN与平面BMN所成角的大小为60.