1、2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分1已知复数z满足（i是虚数单位），则z=_2设集合M=x|x1，N=x|xa，要使MN=，则实数a的取值范围是_3不等式+2x0的解集为_4将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 _5函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为_6要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有_种7A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为_8已知点M的坐
2、标是（1，1），F1是椭圆=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是_9若f（n）=1+2+3+n（nN*），则=_10某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好若某班在自测过程中各项指标显示出0cdeba，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为_（填入a，b，c，d，e中的某个字母）11不等式+kx+10对于x1，1恒成立，则实数k的取值范围是_12数列an，bn的前n项的和分别为An、Bn，数列cn满足：cn=anBn+bnAnanbn若A20
3、09=41，B2009=49，则数列cn的前2009项的和C2009=_二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分13“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c1”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件14已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限15等差数列an中，前n项和为Sn，|a3|=|a9|，公差d0若存自然数N，对于任意的自然数nN，总有Sn+1Sn成立，则N值为( )A7和8B6和7C5和6D4和5来源:学|科|网Z|X|X|K1
4、6老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：对于任意的x（0，1），f（x）0；对于任意的x1，x2（0，1），恒有2请同学们对函数f（x）进行研究”经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数你认为他们的猜想中正确的猜想个数有( )A3个B2个C1个D0个三、解答题（本大题满分74分）17如图：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AC=2，ACBC（1）求多面体ABCA1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小18（1
5、4分）已知ABC所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b2，a2）（1）若，求证：ABC为等腰三角形；（2）若，边长c=2，角C=60，求ABC的面积19（16分）函数的定义域为（0，1（a为实数）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围20（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（ab0）的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的
6、直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程21（16分）已知数列an是公差d0的等差数列，且a5=6（1）求an的前9项的和S9；（2）若a3=3，问在数列an中是否存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在自然数n1，n2，n3，nt（t是正整数），满足5n1n2n3nt，使得a3，a5，an1，an2，ant成等比数列，求所有整数a3的值2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分1已知复数z满足（i是虚数单位）
7、，则z=i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】由，得到，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由，得则z=i故答案为：i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2设集合M=x|x1，N=x|xa，要使MN=，则实数a的取值范围是a1【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题【分析】根据MN=，利用交集的定义和数轴，即可得到不等关系，求解即可得到实数a的取值范围【解答】解：集合M=x|x1，N=x|xa，且MN=，在数轴上作出图形如下图所示，根据上述图形，可以得到实数a的取值范围是a1故答案为：a1【点评】本题考查
8、了集合的交集，以及空集的定义对于集合中的交、并、补的运算，解题时一般运用数形结合的数学思想方法，即作出数轴进行求解属于基础题来源:学科网ZXXK3不等式+2x0的解集为x|x3或x1【考点】二阶矩阵；其他不等式的解法 【专题】矩阵和变换【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为x2+2x30，由此能求出不等式+2x0的解集【解答】解：+2x0，x2+2x30，解得x3或x1，不等式+2x0的解集为x|x3或x1故答案为：x|x3或x1【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用4将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 【考
9、点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征 【专题】计算题【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型5函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为1+【考点】三角函数的最值 【专题】三角函数的求值【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=1+sin（2x），易得函数的最值【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x
10、）=2sin2x+sin2x=1cos2x+sin2x=1+sin（2x），当sin（2x）=1时，原式取到最大值1+，故答案为：1+【点评】本题考查三角函数的最值，化为一角一函数是解决问题的关键，属基础题6要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有40种【考点】计数原理的应用 【专题】排列组合【分析】由题意知这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和3男0女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，利用分类计数原理相加即得结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理的应用，这3人女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种
11、情况若3人中有2男1女，则不同的选法共有 C52C31=30种，若3人中有3男0女，则不同的选法共有C53=10种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有30+10=40种，故答案为：40【点评】本题主要考查计数原理的应用，本题解题的关键是对于题目中所要求的既要有女生又要有男生所包含的情况要分类来表示出来，本题是一个基础题7A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为R【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由球截面圆的性质，当截面是以AB为直径的圆时，球心到过A、B两点的平面的距离最大设D为AB中点，OD即为所求【
12、解答】解：两点A、B间的球面距离为，AOB=来源:学_科_网设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离D为AB中点，则OCOD，当且仅当C，D重合时取等号在边三角形AOB中，OD=R故答案为：R【点评】本题考查球面距离的概念，点面距的计算分析出何时区最大值是关键，考查了空间想象能力、推理论证、计算能力来源:学+科+网8已知点M的坐标是（1，1），F1是椭圆=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是6，6+来源:学。科。网Z。X。X。K【考点】椭圆的简单性质 【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】|PF1|
13、+|PF2|=2a=6，|PF1|=6|PF2|，所以，|PF1|+|PM=6|PF2|+|PM|=6+（|PM|PF2|），由此结合图象能求出|PF1|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范围【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6那么|PF1|=6|PF2|，则|PF1|+|PM|=6|PF2|+|PM|=6+（|PM|PF2|） 根据三角形三边关系可知，当点P位于P1时，|PM|PF2|的差最小，此时F2与M点连线交椭圆于P1，易得|MF2|=，此时，|PF1|+|PM|也得到最小值，其值为6当点P位于P2时，|PM|PF2|的差最大，此时F2与M点连线交椭圆于P2，易得|MF2
14、|=，此时|PF1|+|PM|也得到最大值，其值为6+则所求范围是6，6+故答案为：6，6+【点评】本题考查椭圆的定义、性质和应用，解题时要注意数形结合法的合理运用9若f（n）=1+2+3+n（nN*），则=2【考点】数列的极限 【专题】计算题【分析】先利用等差数列的求和公式求和得，再代入化简，利用，即可求解【解答】解：由题意，f（n）=1+2+3+n=故答案为2【点评】本题的考点是数列的极限，主要考查等差数列的求和问题，考查数列极限的求法，利用，是解题的关键10某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好若某班
15、在自测过程中各项指标显示出0cdeba，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为c（填入a，b，c，d，e中的某个字母）【考点】不等式比较大小；多元一次不定方程 【专题】应用题；压轴题【分析】采用特殊值法，给a，b，c，d，e按照大小顺序取一组特殊值，计算S的值，据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，检验a增加1时，S值的增加量，检验c增加1时，S值的增加量，作出比较【解答】解：据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，采用特殊值检验法，0cdeba，令a=9，b=7，c=1，d=3，e=5，则 S=，当a增加1时，S=，S的值
16、增加，当c增加1时，S=，S的值增加，当c增加1时，S的值增加最多；故答案为c【点评】本题考查在限定条件下，比较几个式子大小，可用特殊值代入法11不等式+kx+10对于x1，1恒成立，则实数k的取值范围是1，1【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用【分析】将不等式恒成立转化为函数关系，构造函数，利用数形结合进行求解即可【解答】解：不等式+kx+10对于x1，1恒成立，等价为+1kx对于x1，1恒成立，设y=+1（y1），则等价为x2+（y1）2=1对应的轨迹为以（0，1）为圆心，半径为1的上半圆，则A（1，1），B（1，1），若+1kx对于x1，1恒成立，则等价为A，B在直线y=kx
17、的上方或在直线上即可，即A（1，1），B（1，1），在不等式ykx对应的区域内，则满足，即，解得1k1，故答案为：1，1【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用数形结合是解决本题的关键12数列an，bn的前n项的和分别为An、Bn，数列cn满足：cn=anBn+bnAnanbn若A2009=41，B2009=49，则数列cn的前2009项的和C2009=2009【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】cn=anBn+bnAnanbn=（AnAn1）（Bnbn）+（BnBn1）An=AnBnAn1Bn1利用“累加求和”方法即可得出【解答】解：cn=
18、anBn+bnAnanbn=（AnAn1）（Bnbn）+（BnBn1）An=AnBnAn1Bn1数列cn的前2009项的和C2009=（A2009B2009A2008B2008）+（A2008B2008A2007B2007）+（A2B2A1B1）+A1B1=A2009B2009=4149=2009故答案为：2009【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分13“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c1”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既
19、不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】利用方程有虚根，判别式小于0，求出后者的充要条件；再判断前者成立是否能推出后者的充要条件；后者的充要条件是否能推出前者【解答】解：实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根，=14c0，解得c，“c”是“c1”的必要不充分条件，“实系数一元二次方程x2+x+c=0有虚根”是“c1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查一元二次方程有虚根的充要条件、考查利用充要条件的定义如何判断条件问题14已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过( )来源:Zxxk.ComA第
20、一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】直线的点斜式方程 【专题】三角函数的图像与性质；直线与圆【分析】根据题意得出A+B，sinAcosB，sinBcosA，再由方向向量得出直线l的斜率k0，即可判断直线l不过第三象限【解答】解：A、B是锐角ABC的两个内角，A+B，AB，BA，sinAsin（B）=cosB，sinBsin（A）=cosA，sinBcosA0，cosBsinA0；又方向向量=（1，），直线l的斜率k=0，且过点P（1，0），则直线l不过第三象限故选：C【点评】本题考查了直线的方向向量应用问题，也考查了三角函数的诱导公式应用问题，方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，
21、是基础题目15等差数列an中，前n项和为Sn，|a3|=|a9|，公差d0若存自然数N，对于任意的自然数nN，总有Sn+1Sn成立，则N值为( )A7和8B6和7C5和6D4和5【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】根据题意，求出首项a1与公差d的关系，得出通项公式an，利用Sn+1Sn，得出，由此求出n的值【解答】解：等差数列中，|a3|=|a9|，a32=a92，即（a1+2d）2=（a1+8d）2，a1=5d，an=a1+（n1）d=（n6）d；又Sn+1Sn，来源:学_科_网Z_X_X_K，即，化简得，解得5n6故选：C【点评】本题考查了等差数列的前n项和以及灵活运
22、用等差数列的通项公式解决问题的能力，是中档题目16老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：对于任意的x（0，1），f（x）0；对于任意的x1，x2（0，1），恒有2请同学们对函数f（x）进行研究”经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数你认为他们的猜想中正确的猜想个数有( )A3个B2个C1个D0个【考点】抽象函数及其应用 【专题】函数思想；函数的性质及应用【分析】利用赋值法，结合基本不等式的性质进行判断即可【解答】解：令x1=1x2，
23、则不等式2等价为+2，由知对于任意的x（0，1），f（x）0；则+2=2，故+=2当且仅当=1即f（x2）=f（1x2）时成立此时函数f（x）关于x=对称，故丙猜想正确其他不一定正确，故选：C【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合基本不等式的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题（本大题满分74分）17如图：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AC=2，ACBC（1）求多面体ABCA1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）多面体ABCA1C1
24、的体积V=，由此能求出结果（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC1所成角的大小【解答】解：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AC=2，ACBC，CC1平面ABC，BC平面AA1C1，SABC=，=2，CC1=2，BC=2，多面体ABCA1C1的体积：V=+=（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），=（2，2，2），=（2，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角的大小为，则cos=|cos，
25、|=|=0，异面直线A1B与AC1所成角的大小为【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18（14分）已知ABC所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b2，a2）（1）若，求证：ABC为等腰三角形；（2）若，边长c=2，角C=60，求ABC的面积【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量 【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】（1）由向量，得出x1y2x2y1=0，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换，求出A=B即可；来源:Z#xx#k.Com（2）由向量，得出x1y1
26、+x2y2=0，利用余弦定理，求出ab的值，即可求出ABC的面积【解答】解：（1）向量=（a，b），=（sinB，sinA），且；asinAbsinB=0，由正弦定理得，sinAsinAsinBsinB=0，即=；cos2A=cos2B，2A=2B，即A=B；ABC为等腰三角形；（2）向量=（a，b），=（b2，a2），且；a（b2）+b（a2）=0，即ab=a+b；又c=2，角C=60，由余弦定理得22=（a+b）22ab2abcos60；4=（ab）23ab，解得ab=4，或ab=1（舍去）；ABC的面积为S=absinC=4sin60=【点评】本题考查了平面向量的应用问题以及正弦、余弦定
27、理的应用问题，解题时应根据向量的平行与垂直，得出条件式，利用正弦、余弦定理化简条件，得出正确的结论，是综合题19（16分）函数的定义域为（0，1（a为实数）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题来源:学|科|网Z|X|X|K【分析】（1）先根据a的值求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函数y=f（x）的最小值，注意等号成立的条件，从而求出函数y=f（x）的值域；（2）将函数y=f（x）在定义域上是减函数，转化成f（x）0对x（0，1恒成立，然后将a分离出来得到a2x2，x
28、（0，1，只需a（2x2）min即可，从而求出a的取值范围【解答】解：（1），x（0，1当且仅当，即时，所以函数y=f（x）的值域为；（2）因为函数y=f（x）在定义域上是减函数，所以对x（0，1恒成立，即a2x2，x（0，1，所以a（2x2）min，所以a2，故a的取值范围是：（，2；【点评】本题主要考查函数的概念、性质及利用导数研究恒成立问题等基础知识，考查灵活运用基本不等式方法进行探索求值域，属于基础题20（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（ab0）的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆
29、C的一个顶点为B（0，b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得直线BF1的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得PQ的长，即可得
30、到最大值【解答】解：（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆可得y=b，由M（，1），即有c=，=1，又a2b2=2，解得a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由题意可得B（0，），F1（，0），直线BF1的方程为x+y+=0，则点M到直线BF1的距离为=2+；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2m2y+m24=0，由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），即有y1+y2=，y1y2=，弦长|PQ|=|y1y2|=，令t=2+m2（t2），则|PQ|=，当m=0即t=2时，取得最小值2，即
31、有2|PQ|；当直线l1：y=时，代入椭圆方程，可得x=，即有|PQ|=综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y=【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点到直线的距离公式，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题21（16分）已知数列an是公差d0的等差数列，且a5=6（1）求an的前9项的和S9；（2）若a3=3，问在数列an中是否存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在自然数n1，n2，n3，nt（t是正整数），满足5n1n2n3nt，使得a3，a5
32、，an1，an2，ant成等比数列，求所有整数a3的值【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出（2）由a3=3，且a5=6可得，可得an=假设存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，可得=a3am，解出即可得出（3）由题意可得：=a3，n15公差d=可得62=a3a5+（n15）d，化为：（n117）（a36）=0，解出分类讨论即可得出【解答】解：（1）S9=9a5=96=54（2）由a3=3，且a5=6可得，解得a1=0，d=，可得an=假设存在一项am（m是正整数），使得a3，a5，am成等比数列，则=a3am，62=3，解得m=9存在一项a9，使得a3，a5，a9成等比数列（3）由题意可得：=a3，n15来源:学科网公差d=62=a3a5+（n15）d=a3，化为：（n117）（a36）=0，解得a3=6，或n1=17当a3=6时，=6（n15），满足题意当n1=17时化为7a3+6=0，即（a36）（a31）=0，解得a3=6，或1综上可得：a3=6，或1【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
