1、2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA二、填空题：13、 14、 15、 16、三、解答题：17.解：（）当时，解得， 即时，复数为纯虚数 （5分）（）当时， （10分）18. 解：()由得，（2分）令得， （3分）当时，；当时， （4分）故当时，有极小值也是最小值为.（6分）() 设，则，（7分）由() 知有最小值 （9分）于是对于，都有，所以在上递增， （10分）而，从而对任意，即.（12分）19.解：（）点P的坐标为，设切点Q的坐标为，又，所以解得或.所求切线方程为或（6分）（）S.故所围成的图形面积S，此为与无关的一个常数 （12分
2、）20. 解：假设存在一次函数，使得对的一切自然数都成立，则当n=2时有，又即.当n=3时有，又，即，由可得，所以猜想：，（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； （6分）（2）假设当n=k（）时，结论成立，即存在，使得对的一切自然数都成立，则当时， ， （8分）又，当时，命题成立.（11分）由（1）（2）知，对一切n，（）有，使得都成立.（12分）21.解：(）由题意，假设在时取得极值，则有，而此时，函数在处无极值. （4分）（）设，则有，设，令，解得或.随着值变化时的变化情况如下表：x(-3,-1)(-1,3)3(3,4)4+0 0+由此可知：F（x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F（x)取得极大值F（-1）=；当x=3时，F（x)取得极小值F（-3）=F（3）=，而F（4）=. （10分）如果函数与的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以或. （12分）22解：（）因为，所以（2分）因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即，所以，.（4分）（）由（）知，所以，对任意恒成立，即对任意恒成立.（5分）令，则（6分）令，则，所以函数在上单调递增（8分）所以，可得故函数在上单调递增.所以（11分） 故整数的最大值是3.（12分）
