1、创新问题专项训练(一)一、选择题1设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义一个二元运算“*”(即对任意的a，bS，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)b D(a*b)*b*(a*b)b2在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足OQ(ab)曲线CP|acos bsin ，02，区域P|0r|PQ|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3B1r3RCr1R3 D1r3R3.函数yf(x
2、)的图象如图所示，在区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围是()A3,4B2,3,4C3,4,5 D2,34我们把形如yf(x)(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y(x)lnf(x)，两边求导得(x)ln f(x)(x)，于是yf(x)(x)(x)ln f(x)(x).运用此方法可以探求得yx的一个单调递增区间是()A(e,4) B(3,6)C(2,3) D(0,1)5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，黑白两蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”白蚁爬行的路线是AA
3、1A1D1，黑蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中iN*)，设黑白两蚁走完第2 014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白两蚁的距离是()A1 B. C. D06已知向量u(x，y)与v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示，在下列命题中：若a(1,1)，则f(a)(1,1)；若f(b)(0，1)，则b(1,0)；对于任意向量a及常数m、n，恒有f(mna)mf(a)nf(a)；对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(manb)mf(a)nf(b)其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)A B C D二、填空
4、题7双曲线x2y28的左、右焦点分别是F1、F2，点Pn(xn，yn)(n1,2,3，)在其右支上，且满足|Pn1F2|PnF1|，P1F2F1F2，则x2 014的值是_8已知数列an满足：当n(n，kN*)时，an(1)k1k，Sn是数列an的前n项和，定义集合Amn|Sn是an的整数倍，n，mN*，且1nm，card(A)表示集合A中元素的个数，则card(A15)_.9设x表示不超过x的最大整数，如：3，4.35.给出下列命题：函数f(x)ln(xx)的值域为(，0；若x1x2，则ex1ex2，其中e为自然对数的底数；lg 1lg 2lg 3lg 10090；若函数f(x)，则yf(x
5、)f(x)的值域为1,0其中所有真命题的序号是_三、解答题10已知SnA|A(a1，a2，a3，an)，ai2 012或2 013，i1,2，n(n2)，对于U，VSn，d(U，V)表示U和V中相对应的元素不同的个数(1)令U(2 013,2 013,2 013,2 013,2 013)，存在m个VS5，使得d(U，V)2，求m的值；(2)令U(a1，a2，a3，an)，若VSn，求所有d(U，V)之和11已知函数f(x)的定义域为(0，)，若y在(0，)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y在(0，)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
6、1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2.(1)已知函数f(x)x32mx2mx，若f(x)1，且f(x)2，求实数m的取值范围；(2)已知0abc，f(x)1且f(x)的部分函数值由下表给出：xabcabcf(x)ddt4求证：d(2dt4)0；答案1选A根据题意“对任意的a，bS，有a*(b*a)b”，则选项B中，a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a一定成立；选项C中，b*(b*b)b一定成立；选项D中(a*b)*b*(a*b)(a*b)*ab，一定成立，故选A.2.选A由已知可设a(1,0)，b(0,1)，P(x，y)，则(，)，曲线CP|(cos ，sin )，02，即C：x2y
7、21，区域P|0r|R，rR表示圆P1：(x)2(y)2r2与圆P2：(x)2(y)2R2所形成的圆环，如图所示，要使C为两段分离的曲线，只有1rR0，0，x0，令y0，则1ln x0，所以0xe，因为(0,1)(0，e)，所以选D.5选B由题意，白蚁爬行的路线为AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即经过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，由2 01433564知，白蚁走完第2 014段后停在C点；同理，黑蚁走完第2 014段后停在D1点，所以它们此时的距离为.故选B.6选B对于，f(a)(1,211)(1,1)，所以正确；对于，设b(x，y)，则f(b)(y,2yx)，所以y0,2yx1
8、，解得x1，y0，所以正确；对于，设a(a1，a2)，则mna(mna1，mna2)，所以f(mna)(mna2,2mna2mna1)mn(a2,2a2a1)mnf(a)，mf(a)nf(a)m(a2,2a2a1)n(a2,2a2a1)(ma2na2,2ma22na2ma1na1)，所以不正确；对于，设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则manb(ma1nb1，ma2nb2)，所以f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，mf(a)nf(b)m(a2,2a2a1)n(b2,2b2b1)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，所以f(manb)mf(a)nf(b)，
9、所以正确7解析：a28，b28，c4，即x8xn116yx8xn16y，(xn1xn)(xn1xn4)0，由题意知，xn0，xn1xn4，xn是以4为首项，4为公差的等差数列x2 014x12 013448 0528 056.答案：8 0568解析：由于当n(n，kN*)时，an(1)k1k，则数列an满足，a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，其前n项和Sn满足，当n1时，若an是奇数，则Sn是an的整数倍，所以当1n15时，an是奇数的项共有9项，故card(A15)9.答案：99解析：命题中，显然有0xx1，所以函数f(x)ln的值域为(，0)
10、，错误；命题中，显然有x1x2，所以ex1ex2，正确；命题中，lg 1lg 2lg 3lg 90，lg 10lg 11lg 12lg 991，lg 1002，所以lg 1lg 2lg 3lg 10090292，错误；命题中，易证f(x)为奇函数，其值域为，所以函数yf(x)f(x)的值域为1,0，正确答案：10解：(1)易知mC10.(2)易知V共有2n种可能，记V的第k种情况为Vk，根据(1)知使d(U，Vk)r的Vk共有C个，d(U，Vk)0C1C2CnC，d(U，Vk)nC(n1)C(n2)C0C，两式相加并整理得d(U，Vk)n2n1.11解：(1)因为f(x)1，且f(x)2，即g(x)x22mxm(xm)2m2m在(0，)上是增函数，所以m0.而h(x)x2m在(0，)上不是增函数，h(x)1，当h(x)是增函数时，h(x)10在(0，)上恒成立，所以mx2在(0，)上恒成立，故m0，因此当h(x)不是增函数时，m0.综上，实数m的取值范围是(，0)(2)证明：因为f(x)1，且0abcabc，所以，故f(a)d，同理可证：f(b)d，f(c)t.三式相加得f(a)f(b)f(c)2dt4，所以2dt40.又f(x)1，且0ab，所以，即，所以0，而0ab，所以d0，所以d(2dt4)0.