1、第2讲数形结合思想思想概述数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题例1已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_思路分析方程f(x)b有三个不同的根函数yf(x)的图象和直线yb有三个交点画函数图象答
2、案(3，)解析作出f(x)的图象如图所示，当xm时，x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.批注正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势例2当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则底数a的取值范围为_答案a|1a2解析设y(x1)2，ylogax，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示若0a1，则当x(1,2)时，(x1)2logax是不可能的，所以a应满足解得1a2，所以底数a的取值范围为a|1a2方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f(x)g(x)可转化为函数yf(x)和函数
3、yg(x)图象的位置关系问题.方法二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C. D.思路分析求|c|的最大值考虑向量a，b，c的几何关系通过几何意义观察|c|的最值答案C解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.例4设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与
4、点P到直线x1的距离之和的最小值为_答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.方法三几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解例5已知抛
5、物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A(2,4)，在抛物线上求一点P，使APF的周长最小，求此时点P的坐标思路分析APF的周长最小结合抛物线定义转化|PF|PQ|结合图形观察三边关系求最值解因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ.则APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0.故使APF的周长最小时点P的坐标为.批注通过定义转化|PF|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.
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