2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列.docx

1、第1讲等差数列与等比数列考情分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(nN*)(1)等差数列的通项公式：ana1(n1)d；(2)等比数列的通项公式：ana1qn1.(3)等差数列的求和公式：Snna1d；(4)等比数列的求和公式：Sn例1(1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至

2、的日影长为()A15.5尺 B12.5尺 C10.5尺 D9.5尺答案A解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a1，a2，a3，a12，由题意，有a1a4a737.5，根据等差数列的性质，得a412.5，而a124.5，设公差为d，则解得所以冬至的日影长为15.5尺(2)已知点(n，an)在函数f(x)2x1的图象上(nN*)数列an的前n项和为Sn，设bn，数列bn的前n项和为Tn.则Tn的最小值为_答案30解析点(n，an)在函数f(x)2x1的图象上，an2n1(nN*)，an是首项为a11，公比q2的等比数列，Sn2n1，则bn2n12(nN*)，bn是首项为10，公差为2的等差数列

3、，Tn10n2n211n2.又nN*，Tn的最小值为T5T6230.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算跟踪演练1(1)(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k等于()A2 B3 C4 D5答案C解析a12，amnaman，令m1，则an1a1an2

4、an，an是以a12为首项，2为公比的等比数列，an22n12n.又ak1ak2ak1021525，21525，即2k1(2101)25(2101)，2k125，k15，k4.(2)(多选)(2020威海模拟)等差数列an的前n项和记为Sn，若a10，S10S20，则()Ad0Ba160CSnS15D当且仅当n32时，Sn0，所以d0，故A正确；因为a16a115dd15dd，又d0，所以a160，a160，所以S15最大，即SnS15，故C正确；Snna1dd，若Sn0，又d30，故当且仅当n31时，Sn1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，则()Aa917 Ba1019 CS981 D

5、S1091答案D解析对于任意n1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，Sn1SnSnSn12，an1an2.数列an在n1，nN*时是等差数列，公差为2，又a11，a22，an2(n2)22n2(n1，nN*)，a929216，a10210218，S9182273，S10192291.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则()ASn无限大 BSn3(3)mCSn3(3)m DSn可以取100

6、m答案B解析由题意可得，外围第2个正方形的边长为m；外围第3个正方形的边长为m；外围第n个正方形的边长为n1m.所以蜘蛛网的长度Sn4m4m4m3(3)m.故选B.二、多项选择题7(2020厦门模拟)记Sn为等差数列an的前n项和，若a13a5S7，则以下结论一定正确的是()Aa40 BSn的最大值为S3CS1S6 D|a3|1，a6a7a6a712，记an的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是()A0q1CT121 DT131答案ABC解析由于等比数列an的各项均为正数，公比为q，且a11，a6a7a6a712，所以(a61)(a71)1，a71，所以0q2，所以a6a71，T12a1a2a

7、11a12(a6a7)61，T13a1的最大正整数n的值为12，C正确，D错误三、填空题9(2020江苏)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列anbn的前n项和Snn2n2n1(nN*)，则dq的值是_答案4解析由题意知q1，所以Sn(a1a2an)(b1b2bn)na1dn2nn2n2n1，所以解得d2，q2，所以dq4.10(2020北京市顺义区质检)设Sn为公比q1的等比数列an的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q_，_.答案310解析设等比数列的通项公式ana1qn1，又因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以22a23a1a3，即4a1q3a1a

8、1q2，解得q3或q1(舍)，10.11(2020潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需移动的最少次数，an满足a11，且an则解下5个圆环需最少移动_次答案16解析因为a52a422(2a31)24a3，所以a54a34(2a22)8a288(2a11)816a116，所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12已知等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，且对任意的nN*，都有A2SnB恒成立，则BA的最小值为_答案解析等比数列an的首项为，公比为，Sn1n，令tn，则t，Sn1t，Sn，2Sn的最小值为，最大值为，

9、又A2SnB对任意nN*恒成立，BA的最小值为.四、解答题13(2020聊城模拟)在a5b3b5，S387，a9a10b1b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答设等差数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，_，a1b6，若对于任意nN*都有Tn2bn1，且SnSk(k为常数)，求正整数k的值解由Tn2bn1，nN*得，当n1时，b11；当n2时，Tn12bn11，从而bn2bn2bn1，即bn2bn1，由此可知，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列，故bn2n1.当a5b3b5时，a132，a520，设数列an的公差为d，则a5a14d，即20324d，解得d3，

10、所以an323(n1)353n，因为当n11时，an0，当n11时，an0，当n11时，an0，当n11时，an1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，任意nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q1，所以q3，所以an23n1(nN*)因为a1b1a2b2anbn，所以a1b1a2b2an1bn1(n2)，两式相减，得anbn2n3n1(n2)，因为an23n1，所以bnn(n2)，当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)，所以bnn(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn.因为任意nN*，Snm恒成立，