1、2.8 函数与方程第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1.函数的零点(1)定义：对于函数 yf(x)，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的_，也是函数 yf(x)的图象与 x 轴的_.(2)函数有零点的几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴函数 yf(x)_.由此可知，求方程 f(x)0 的实数根，就是确定函数 yf(x)的_.一般地，对于不能用公式求根的方程 f(x)0 来说，我们可以将它与_联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.2.函数的零点存在性定
2、理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么，函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 c_，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见 2.4 节“考点梳理”5)自查自纠1.(1)f(x)0 实数根 交点的横坐标(2)有交点 有零点 零点 函数 yf(x)2.f(a)f(b)0(a，b)(a，b)f(c)01.(2019河南安阳一中期中)函数 f(x)ln(2x)1 的零点位于区间()A.(2，3)B.(3，4)C.(0，1)D.(1，2)解：因为 f(x)ln(2x)1 是增函数，且在(0，)上图象连
3、续不断，f(1)ln210，f(2)ln410，所以根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1，2)内故选 D.2.下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()A B C D解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间a，b上连续不断，并且有 f(a)f(b)0.A，B 中不存在 f(x)0，D 中函数不连续故选 C.3.(福建宁德同心顺联盟校 20192020 学年高一上期中)已知 x0 是函数 f(x)lnx1x(x0)的一个零点，若 x1(0，x0)，x2(x0，)，则()A.f(x1)0，f(x2)0B.f(x1)0，f(x2)0 C.f(x1)
4、0，f(x2)0D.f(x1)0，f(x2)0解：因为 f(x)lnx1x(x0)，ylnx 与 y1x在(0，)上都是增函数，所以 f(x)单调递增 因为 x0 是函数 f(x)lnx1x(x0)的一个零点，若 x1(0，x0)，x2(x0，)，所以 f(x1)0，f(x2)0.故选 A.4.(湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校 2020 届高三上 10 月联考)函数 f(x)3x2，x0，xlog36，x0的零点之和为.解：令 3x20，解得 xlog32，令 xlog360，解得 xlog36，则函数 f(x)的零点之和为 log32log36log3131.故填1.5.函数 f(x)ax1
5、2a 在区间(1，1)上仅存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_.解：因为函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0，所以(3a1)(1a)0，解得13a1，所以实数 a的取值范围是13，1.故填13，1.类型一 判断函数零点所在区间例 1(1)函数 f(x)log8x 13x的一个零点所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解：因为函数 f(x)log8x 13x是连续的增函数，f(1)01313 0，f(2)log821613160，可得 f(1)f(2)0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)故选 B.(2)若 abc，则函数 f
6、(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内解：易知 f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又 ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内故选 A.评析 理解函数零点存在定理要注意三点：(1)“函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)0)，则函数 yf(x)()A.在区间(0，1)，(1，2)内均有零点B.在区间(0，1
7、)内有零点，在区间(1，2)内无零点C.在区间(0，1)，(1，2)内均无零点D.在区间(0，1)内无零点，在区间(1，2)内有零点解：f(x)1xx1x2x，故 f(x)在(0，1)上递增，在(1，)递减，又 f 1e ln1e12 1e210，f(2)ln210的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解：由x0，x22x30，得 x3.由x0，2lnx0，得 xe2.所以 f(x)的零点个数为 2.故选 C.(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当x0，1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是()A.5B.4C.3D.2解：由题意知，f(x
8、)是周期为 2 的偶函数在同一坐标系内作出函数 yf(x)及 ylog3|x|的图象，如图 观察图象可以发现它们有 4 个交点，即函数 yf(x)log3|x|有 4 个零点故选 B.评析 判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理结合函数的性质；数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数.变式 2(1)函数 f(x)xcosx2 在区间0，4上的零点个数为()A.4B.5C.6D.7解：由 f(x)xcosx20，得 x0 或 cosx20.又 x0，4，所以 x20，16由于 cos2 k 0(kZ)，而在2 k(kZ)的所有取值中，只有2，32，52，72，92 满足在0，16内，
9、故零点个数为 156.故选 C.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)2 021xlog2 021x，则函数 f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4解：作出函数 y2 021x 和 ylog2 021x 的图象如图所示，可知函数f(x)2 021xlog2 021x在x(0，)上只有一个零点，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)在 x(，0)上只有一个零点，又 f(0)0，所以函数 f(x)的零点个数是 3.故选 C.类型三 已知零点情况求参数的取值范围例 3(1)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若
10、存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.解：f(x)的大致图象如图所示，若存在 bR，使得方程 f(x)b 有三个不同的根，只需 4mm20，所以 m3.故填(3，)(2)(2019 年高考江苏卷)设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f(x)是奇函数.当 x(0，2时，f(x)1（x1）2，g(x)k（x2），0 x1，12，10.若在区间(0，9上，关于 x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_.解：当 x(0，2时，令 y1（x1）2，则(x1
11、)2y21，y0，即 f(x)的图象是以(1，0)为圆心、1 为半径的半圆，再在同一坐标系中作出函数 g(x)(x(0，9)的图象，如图，关于 x 的方程 f(x)g(x)在(0，9上有 8 个不同的实数根，即两个函数的图象在(0，2上有 2 个不同的交点时满足题意，当直线 yk(x2)经过点(1，1)时，k13，当直线 yk(x2)与半圆(x1)2y21(y0)相切时，|3k|k211，k 24 或 k 24(舍去)，所以 k 的取值范围是13，24.故填13，24.评析 已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式
12、(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围.变式 3(1)(北京市朝阳区 2019 届高三二模)已知函数f(x)2x，xa，x，xa，若函数 f(x)存在零点，则实数 a 的取值范围是()A.(，0)B.(，1)C.(1，)D.(0，)解：函数 f(x)2x，xa，x，x0，h(2.2)0.故选C.评析 用二分法求函数 f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：第一步，确定初始区间a0，b0，验证 f(a0)f(b0)0，给定精确度；第二步，求区间a0，b0的中点 x0a0b02；第三步，计算 f(x0)：若 f(x0)0，则 x0 就是函数的零点；若 f(a0)f(x0)0，则令 a1
13、a0，b1x0(此时零点a1，b1)；若 f(a0)f(x0)0，则令 a1x0，b1b0(此时零点a1，b1)；第四步，判断区间a1，b1是否达到精确度：即若|a1b1|，则得到零点近似值 a1(或 b1)；否则重复第二到四步.变式 4(1)用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_.以上横线上应填的内容为()A.(0，0.5)，f(0.25)B.(0，1)，f(0.25)C.(0.5，1)，f(0.25)D.(0，0.5)，f(0.125)解：因为 f(0)0，f(0.5)0，所以 f(0)f(0.5)
14、0.故 f(x)在(0，0.5)必有零点，即 x0(0，0.5)，利用二分法，第二次应计算 f00.52f(0.25)故选 A.(2)在用二分法求方程 x22 的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4，1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_.解：设至少需要计算 n 次，由题意知1.51.42n100.由 2664，27128，知 n7.故填 7.1.函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点.2.确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)0 的实根个数)的方法：(1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数，一般由对应的二次方程 f(x)0 的判别式 0，0，0 来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.(3)若函数 f(x)在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 f(a)f(b)0，则 yf(x)在区间(a，b)内有唯一零点.