1、考点6.2 平面向量基本定理及坐标表示考点梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(2)平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2
2、，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样因为向量有方向，而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量3已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若xy，写出x，y的关系式提示xy1.真题演练1（2017全国）设向量，则和的夹角为（）ABCD【答案】C【解析】设和的夹角为，向量，故选C2（2017新课标）在矩形ABCD中，动点
3、在以点为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为（）A3BCD2【答案】A【解析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，圆的方程为，设点的坐标为，其中，故的最大值为3，故选A3（2020新课标）设向量，若，则_【答案】5【解析】向量，若，则，则，故答案为：54（2020江苏）在中，在边上，延长到，使得若为常数），则的长度是_【答案】0或【解析】如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，由，得，整理得：，由，得，解得或当时，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，即，的长度是0
4、或故答案为：0或5（2019全国）已知向量，若，则_【答案】【解析】；故答案为：6（2019新课标）已知向量，则，_【答案】【解析】，故答案为：7（2019浙江）已知正方形的边长为1当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是_，最大值是_【答案】0，【解析】正方形的边长为1，可得，由于，2，3，4，5，取遍，可得，可取，可得所求最小值为0；由，的最大值为4，可取，可得所求最大值为故答案为：0，8（2019北京）已知向量，且，则_【答案】8【解析】由向量，且，得，故答案为：89（2018新课标）已知向量，若，则_【答案】【解析】向量，解得故答案为：10（2018北京）设向量，若，则_【答案】【解
5、析】向量，解得故答案为：11（2017北京）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_【答案】【解析】设，则，当且仅当时取等号故答案为：612（2017山东）已知向量，若，则_【答案】【解析】，解得故答案为：13（2017新课标）已知向量，且，则_【答案】2【解析】向量，且，解得故答案为：214（2017新课标）已知向量，若向量与垂直，则_【答案】7【解析】向量，向量与垂直，解得故答案为：715（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为若，则_【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系由与的夹角为，且，解得，则故答案为：3强化训练1（2020
6、咸阳模拟）已知向量，则（）AB5C7D25【答案】B【解析】向量，故选B2（2020东莞市一模）已知向量，若，则实数的值为（）ABCD2【答案】C【解析】向量，解得，故选C3（2020全国卷模拟）ABCO，为原点，则点坐标为（）ABCD【答案】A【解析】根据题意，中，有，又由，则，则，则；故选A4（2020黔东南州模拟）若向量，则（）ABCD【答案】D【解析】，故选D5（2020九龙坡区校级模拟）已知向量，则（）ABCD【答案】B【解析】根据题意，向量，则，又由，则，解可得；故选B6（2020全国模拟）设向量，且，则（）A3B2CD【答案】A【解析】因为，又因为，所以，解得，故选A7（2020
7、全国I卷模拟）已知，若点满足，则点坐标为（）A，BCD【答案】D【解析】设，由，得，；又，即，解得；点坐标为故选D8（2020定远县模拟）若向量与向量共线，则（）A0B4CD【答案】D【解析】向量与向量共线，则，解得，故选D9（2020金安区校级模拟）已知向量，若，且，则实数的值为（）A2B4C或2D或4【答案】C【解析】向量，且，解得故选C10（2020丹东模拟）AC为平行四边形ABCD的一条对角线，则（）ABCD【答案】D【解析】由平行四边形的性质可得，故选D11（2019湘潭三模）已知向量，若，则实数的值为（）ABCD【答案】C【解析】向量，若，则，求出，故选C12（2019重庆模拟）已
8、知向量，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】D【解析】向量，故 和不垂直，故错误；，故故 和不共线，故错误；，和不垂直，故错误；，故正确，故选D13（2019袁州区校级模拟）平面向量与的夹角为，且，则在方向上的投影为（）AB1CD【答案】C【解析】；，且；在方向上的投影为故选C14（2019新余二模）已知，则（）A2BC1D0【答案】A【解析】；故选A15（2019雨花区校级模拟）已知向量，若，则（）ABCD【答案】A【解析】向量，解得故选A16（2019临川区校级模拟）已知向量，且，则的值为（）A1B3C1或3D4【答案】B【解析】向量，且，解得故选B17（2019西安三模）已知向量，若与
9、垂直，则的值为（）A7BCD【答案】B【解析】；与垂直；故选B18（2019香坊区校级二模）已知向量，若，则实数（）A2BCD【答案】A【解析】向量，解得故选A19（2019青岛二模）已知平面向量的夹角为，且，则（）A3B9C12D15【答案】D【解析】，故选D20（2019潮州二模）已知向量，且，则（）A5BCD【答案】C【解析】；故选C21（2019广东二模）设向量与向量垂直，且，则下列向量与向量共线的是（）ABCD【答案】B【解析】；与共线故选B22（2019邯郸一模）在平行四边形ABCD中，则点的坐标为（）ABCD【答案】A【解析】解：设，则：；又，；，；点的坐标为故选A23（2019
10、云南一模）已知点，若向量，则向量（）ABCD【答案】D【解析】；故选D24（2019巴州区校级模拟）向量，则（）ABCD【答案】B【解析】故选B25（2019秦州区校级模拟）已知向量，且，则（）ABC6D8【答案】D【解析】，又，解得故选D26（2019西湖区校级模拟）已知平面向量，且，则（）ABCD【答案】C【解析】，且，解得，故选C27（2019西湖区校级模拟）已知，则与的坐标分别为（）A，B，C，D，【答案】D【解析】，则，故选D28（2019西湖区校级模拟）若，则（）ABCD【答案】B【解析】，故选B29（2020山东模拟）设向量，则（）ABCD与的夹角为【答案】CD【解析】，错误；，
11、错误，正确；，且，的夹角为，正确故选CD30（2020宁德二模）已知向量，且，共线，则_【答案】【解析】因为，共线，所以，即，所以，则，故答案为：31（2020日照一模）已知向量，若，则_【答案】【解析】因为向量，且，所以，解得故答案为：32（20204月份模拟）已知向量，若，则_【答案】【解析】因为，所以，即故答案为：33（20203月份模拟）已知向量，则_【答案】【解析】因为向量，；故答案为：34（2020安徽模拟）在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为_【答案】【解析】由点在的平分线上，所以存在，使，；又，所以，解得，所以向量故答案为：35（2020山西模拟）已知点，则_；与同方向的单位向量为_【答案】，【解析】由点，则，；所以与同方向的单位向量是，故答案为：，36（2020天河区一模）已知向量，若向量，则_【答案】【解析】向量，故答案为：37（2020杜集区校级模拟）已知向量，则在方向上的投影是_【答案】3【解析】；在方向上的投影是：故答案为：338（2020芜湖模拟）已知向量，且，则_【答案】5【解析】向量，且，即，解得故答案为：539（2019西湖区校级模拟）已知，则_，在上的投影为_【答案】【解析】，在上的投影为：故答案为：