1、2014-2015学年第二学期高二年级期末考试数学（理科）试卷 （时间：120分钟 满分：150分）一. 选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1从编号为0,1,2， ，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 ( )A8 B10 C12 D162已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值 （ ）A1 B C D3如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在30，35)，35，40)，40，45的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在
2、35，40）的频率为（ ）A004 B006C02 D034以下四个命题中 从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；对于命题：使得. 则： 均有；设随机变量 ,若,则；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近于1.其中真命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D45从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则（ ）A B C D6已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为（ ）A B C D7不等式的解集是（ ）A B C D8在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标
3、满足曲线C的极坐标方程；表示同一条曲线； =3与=-3表示同一条曲线。在这三个结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 9圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（ ）A. B. C. D.10已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D.211已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A BC D12设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（ ）A1 B.2 C.3 D.4二填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 14. 已知：,则的最小值是 .15
4、. 已知函数，若不等式的解集为R，则 的取值范围是 16在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为_.三解答题(本大题共6小题，共70分)17(本小题满分12分）已知点，参数，点Q在曲线C：上（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值18 (本小题满分10分）已知，不等式的解集为.(1)求;(2)当时，证明：.19(本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点PBECDFA（1）证明：
5、；（2）若,求二面角的余弦值20（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.（）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望.21（本小题满分12分）设椭圆C：，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且SBF1F24，离心率为,O为坐标原点（）求椭圆C的方程，（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由22（本题满分12分）已知函数（1）当求的单调区间；（2）1时
6、，求在区间上的最小值；（3）若使得成立，求的范围2014-2015学年第一学期高二年级期中考试数学（理科）试卷答案一选择题(每小题5分，共12小题，共60分)1-6B D C B B B 7-12. D D A C D B二填空题(每小题5分，共4小题，共20分)13180 14. 15. 16.三解答题(共6小题，共70分)17.解(1) P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y0), 3分曲线C的直角坐标方程为 x+y=9 3分 (2)半圆(x-1)2+y2=1(y0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，因此两点距离的最小值为点到直线的距离减去圆的半径。所以PQmin=4-1 5分
7、1819解：（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以 6分（2）解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为 12分PBECDFAyzx解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，所以设平面的一法向量为，则因此 取，则，因为， 所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 12分20解：（）设“甲恰得一个红包”为事件A， 4分（）X
8、的所有可能值为0，5，10，15，20， ， ， 10分X的分布列：X05101520PE(X)05101520 12分21解：（1）因为椭圆,由题意得, ，所以解得所以椭圆的方程为 4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,因为，所以有,设，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得,即, 则=,即 6分要使,需,即,所以,所以又,所以,所以,即或,直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为, 10分此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆满足条件 12分22解：（1）当定义域 2分在 4分（2），令，或当时，-0+极小值当时，在在，综上 8分（3）由题意在区间上有解,即在上有解当时，当时，在区间上有解令 时，时， 的取值范围为 12分
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