1、专题1.1 集合【核心素养分析】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力。【知识梳理】知识点1：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。(2)元素与集合的关系是属于或不属于
2、，表示符号分别为和。(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。知识点2：集合间的基本关系(1)子集：若对任意xA，都有xB，则AB或BA。(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。(3)相等：若AB，且BA，则AB。 (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。知识点3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA知识点4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA。(2)AAA，AA，ABBA。(3)A(UA)，A(UA)U，U
3、(UA)A。【特别提醒】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个。2.子集的传递性：AB，BCAC。3.ABABAABBUAUB。4. U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)。【典例剖析】高频考点一 集合的基本概念例1、（河南省平顶山一中2019-2020年模拟）已知集合Ax|xZ，且Z，则集合A中的元素个数为()A2 B3C4 D5【答案】C【解析】因为Z，所以2x的取值有3，1，1，3，又因为xZ，所以x的值分别为5，3，1，1，故集合A中的元素个数为4.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集
4、合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】（湖南省郴州二中2019-2020年模拟）设集合A0，1，2，3，Bx|xA，1xA，则集合B中元素的个数为()A1 B2C3 D4【答案】A【解析】若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0B时，101A；当1B时，1(1)2A；当2B时，1(2)3A；当3B时，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的个数为1.【举一反三】（山西省晋中一中2019-2020年模拟）设a，bR，集合1，ab，a，则ba
5、()A1 B1C2 D2【答案】C【解析】因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么本例(1)集合B中的代表元素为实数pq.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾高频考点二：集合间的基本关系例2、（吉林长春市实验中学2019-2020年模拟）(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A
6、1 B2C3 D4(2)已知集合Ax|1x3，Bx|mx0时，因为Ax|1x3当BA时，在数轴上标出两集合，如图，所以所以00，Bx|x2或x2或x0x|xR.故选B.【举一反三】（福建莆田一中2019-2020年模拟）已知集合Ax|x22x30，xN*，则集合A的真子集的个数为()A7 B8C15 D16【答案】A【解析】方法一：Ax|1x3，xN*1，2，3，其真子集有：，1，2，3，1，2，1，3，2，3共7个方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为2317(个)高频考点三：集合的运算例3、(2019高考全国卷)已知集合U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3
7、，6，7，则BUA()A1，6 B1，7C6，7 D1，6，7【答案】C【解析】依题意得UA1，6，7，故BUA6，7故选C。【规律方法】如何解集合运算问题 (1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键。(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决。(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决。【变式探究】（河南郑州2019-2020年质检）设全集UR，集合Ax|3
8、x1，Bx|x10，则U(AB)()Ax|x3或x1 Bx|x1或x3Cx|x3 Dx|x3【答案】D【解析】因为Bx|x1，Ax|3x3，所以U(AB)x|x3故选D.【举一反三】(2019高考天津卷)设集合A1，1，2，3，5，B2，3，4，CxR|1x3，则(AC)B()A2B2，3C1，2，3 D1，2，3，4【答案】D【解析】方法一：因为AC1，2，B2，3，4，所以(AC)B1，2，3，4故选D。方法二：因为B2，3，4，所以(AC)B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，故选D。【方法技巧】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成
9、入手是解决集合运算问题的前提；(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。高频考点四：利用集合的运算求参数例4、（江西金溪一中2019-2020年模拟）已知集合Ax|x24，Bm若ABA，则m的取值范围是()A(，2) B2，)C2，2 D(，22，)【答案】D【解析】因为ABA，所以BA，即mA，得m24，解得m2或m2。【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集
10、合中元素之间的关系，再列方程(组)求解【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)【变式探究】（河南新乡一中2019-2020年模拟）设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若ABB，则实数a的取值范围是_【解析】因为A0，4，ABB，所以BA，分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此可知，0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1。综上所述，所求实数a的取值范围是(，11。【答案】 (，11高频考点五：集合的
11、新定义问题例5、（广东执信中学2019-2020年模拟）如果集合A满足若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”已知集合A2x，0，x2x，且A是对称集合，集合B是自然数集，则AB_【解析】由题意可知2xx2x，所以x0或x3.而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去当x3时，A6，0，6，所以AB0，6【答案】0，6【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质
12、、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用。(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的。【变式探究】（辽宁辽阳第一中学2019-2020年模拟）定义集合的商集运算为x|x，mA，nB已知集合A2，4，6，Bx|x1，kA，则集合B中的元素个数为()A6 B7C8 D9【答案】B【解析】由题意知，B0，1，2，0，1，则B0，1，2，共有7个元素，故选B。【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质