1、高二周测数学试卷20191201时间：120分钟满分：150分命卷人：张忠华审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 焦点坐标为的抛物线的标准方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可设抛物线方程为,由焦点坐标为,得,即,抛物的标准方程是.2. 与命题“若,则”等价的命题是 ( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】其等价的命题为其逆否命题:若,则.3. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为,且长轴长是短轴长的倍,则该椭圆的标准方程是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意知,又,.4. 命题“对任意，都有”的否定是（
2、）A. 对任意，都有B. 不存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意，都有”的否定是：“存在，使得”故应选D5. “且”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当且时,成立,所以是充分条件, 当时,不一定能得到且,还有可能得到且,所以不是必要条件. 因此“且”是“”的充分而不必要条件.6. 已知方程的图形是双曲线，那么的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】B【解析】方程的图形区域是双曲线，即或，解得或.7. 如果椭圆的弦被点平分,则这
3、条弦所在的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设过点的直线与椭圆相交于两点,由中点坐标公式可知:,则,两式相减得:, ,直线的斜率,直线的方程为:,整理得:.8. 设点为椭圆上一点,分别为的左、右焦点,且,则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】椭圆, ,. 又为椭圆上一点,、为左右焦点, , =, . .故选C.9. 已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若m，n，则mn；若m，m，则；若=n，mn，则m且m；若m，m，则.其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】因为命题1，错误，命题2中，可能相交，
4、错误，命题3中，错误，命题4成立，选B。10. 已知点在抛物线上,点,为该抛物线的焦点,则周长的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点,准线,点在抛物线内部,.是抛物线上的动点,交于,由抛物线的定义可知. 要求取得最小值,即求取得最小值,当三点共线时最小,为,则.周长的最小值为:.故选B.11. 点为抛物线上任一点,为焦点,则以为直径的圆与轴( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 位置由确定【答案】B【解析】如图,抛物线的焦点为,为的中点,准线是:.作于,交轴于,那么,且.作轴于,则是梯形的中位线,即,故以为直径的圆与轴相切.12. 已知，分别是双曲线：的左，右
5、焦点过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设在第四象限，则可得，那么，则，.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知命题:,则是_.【答案】,【解析】命题:,是特称命题, 根据特称命题的否定是全称命题,得:,. 故答案为:,.14. 椭圆:的两个焦点分别为,过的直线交于,两点,若,则的值为_.【答案】【解析】由题意可得:, 解得,故答案为:.15. 如果双曲线的焦点在轴上,焦距为,则实数_.【答案】【解析】由题意,双曲线的焦点在轴上,则, 半焦距为,则, .16. “是真命题,则实数的最
6、大值为_【答案】【解析】“是真命题时,恒成立,又时,则实数的最大值为.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程; (2)若椭圆经过两点和,求椭圆的标准方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)法一:椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为. 由椭圆的定义知. .又,. 所求椭圆的标准方程为. 法二:设标准方程为. 依题意得,解得, 所求椭圆的标准方程为. (2)法一:当椭圆的焦点在轴上时,设所求椭圆的方程为. 椭圆经过两点, ,则. 所求椭圆的标准方
7、程为; 当椭圆的焦点在轴上时, 设所求椭圆的方程为. 椭圆经过两点, ,则. 与矛盾,故舍去. 综上可知,所求椭圆的标准方程为. 法二:设椭圆方程为. 椭圆过和两点, ,. 综上可知,所求椭圆的标准方程为.18. 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的方程.【答案】见解析【解析】抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点, 可设它的标准方程为, 又点在抛物线上,即, 因此所求方程是.19. 已知抛物线与直线相交于、两点,点为坐标原点 . (1)当时,求的值; (2)若的面积等于,求直线的方程.【答案】略【解析】(1)设,由题意可知:, 联立得:显然:, , , (2
8、)联立直线与得显然:, , , 解得:, 直线的方程为:或.20. 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)直线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于,两点,若的面积为,求直线的方程.【答案】见解析【解析】(1)设椭圆的方程为:, 由已知:得:, 所以,椭圆的方程为:. (2)由已知直线过左焦点. 当直线与轴垂直时,此时, 则,不满足条件. 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为:由,得所以, 而, 由已知得,所以, 所以直线的方程为:或.21. 如图，过抛物线的对称轴上一点作直线与抛物线交于，两点，点是点关于原点的对称点. （1）求证：； （2）若，求证：.【答案】见
9、解析【解析】（1）由题意，知直线的斜率存在. 设直线的方程为， 联立消去，得， . （2），得. 又， . 又， . 又，. 即. 又由（1），得. ， ，即， 或. 由题意可知，.22. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、两点,当点的纵坐标为时,. (1)求抛物线的方程; (2)若直线的斜率为,问抛物线上是否存在一点,使得?并说明理由.【答案】(1)(2)存在【解析】(1)由抛物线的定义得等于点到准线的距离,所以,所以所以抛物线的方程为.(2)抛物线的焦点为,直线的方程为,设点,的坐标分别为,由方程组,消去得:,即,由韦达定理得,.因为, 所以,所以, 所以.因为不与,重合,所以,所以,所以,因为,所以方程有解,即抛物线上存在一点,使得.
