1、课时训练等比数列的性质一、选择题1已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列2等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数数列 D摆动数列3等比数列的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log354已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7 C6 D45在等比数列an中，Tn
2、表示前n项的积，若T51，则()Aa11 Ba31Ca41 Da516已知数列an满足1log3anlog3an1(nN)且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A B C5 D57若三个实数a，b，c成等比数列，其中a3，c3，则b()A2 B2C2 D48设等比数列an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a2n1)，a1a2a327，则a6等于()A27 B81 C243 D7299(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D3210已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(
3、)A1 B1C32 D32二、填空题11在等比数列an中，a2a1016，a4a88，则_.12已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积是80，则这四个数为_13在由实数组成的等比数列an中，a3a7a1128，a2a7a12512，则q_14在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比q为整数，则an_三、解答题15有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数16在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，已知a1b11，a2b2，a8b3.(1)求d，q的值；(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然
4、数n，都有anlogabnb成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由17已知各项都为正数的等比数列an满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3an，且Sn为数列bn的前n项和，求数列的前n项和Tn.18已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an2n(nN).(1)证明：an2是等比数列，并求an的通项公式(2)数列bn满足bnlog2(an2)，Tn为数列的前n项和，若Tna对正整数a都成立，求a的取值范围参考答案一、选择题1已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，
5、但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列【解析】选C.当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列2等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数数列 D摆动数列【解析】选D.因为公比q0，所以a4a5a65.5在等比数列an中，Tn表示前n项的积，若T51，则()Aa11 Ba31Ca41 Da51【解析】选B.由题意，可得a1a2a3a4a51，即(a1a5)(a2a4)a31，又a1a5a
6、2a4a，所以a1，得a31.6已知数列an满足1log3anlog3an1(nN)且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A B C5 D5【解析】选D.由1log3anlog3an1(nN)，得an13an，即an是公比为3的等比数列设等比数列an的公比为q，又a2a4a69，则log(a5a7a9)logq3(a2a4a6)log(339)5.7若三个实数a，b，c成等比数列，其中a3，c3，则b()A2 B2C2 D4【解析】选C.由实数a，b，c成等比数列得b2ac954.所以b2.8设等比数列an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a2n1)，a1a2a327，则a6
7、等于()A27 B81 C243 D729【解析】选C.由题可得a1a2a3a27，即a23.因为S2n4(a1a3a2n1)，所以当n1时，有S2a1a24a1，从而可得a11，q3，所以a6135243.9(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D32【解析】选D.设等比数列的公比为q，则a1a2a3a11，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5q532.10已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于()A1 B1C32
8、 D32【解析】选C.设等比数列an的公比为q，因为a1，a3，2a2成等差数列，所以a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1.因为an0，所以q0，q1.所以q2(1)232.二、填空题11在等比数列an中，a2a1016，a4a88，则_.【解析】由题意可得a2a10a4a816，又a4a88，所以a4a8，即数列an为常数列，所以1.答案：112已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积是80，则这四个数为_【解析】由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b38，解得b2，q与a可通过解方程组求出即为或所以四个数为1，2，4，10
9、或，2，5，8.答案：1，2，4，10或，2，5，813在由实数组成的等比数列an中，a3a7a1128，a2a7a12512，则q_【解析】方法一：由已知由得a512，即a78.将其代入得2q85q420.解得q4或q42，即q或q.方法二：因为a3a11a2a12a，所以a512，即a78.所以即a3和a11是方程x220x640的两根，解此方程得x4或x16.所以或又因为a11a3q8，所以q，即q4或q.答案：或14在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比q为整数，则an_【解析】在等比数列an中，由a4a7512得a3a8512，又a3a8124，解得a34，a8
10、128或a3128，a84，因为公比q为整数，所以q2，故an4(2)n3(2)n1.答案：(2)n1三、解答题15有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数【解析】设这三个数为，a，aq(公比为q)，由已知得由得a3.将a3代入得q2，所以9q482q290，令q2t(t0)，所以9t282t90，得t19，t2.所以q3或q.(1)当q3时，此数列为1，3，9；(2)当q3时，此数列为1，3，9；(3)当q时，此数列为9，3，1；(4)当q时，此数列为9，3，1.16在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，已知a1b11，a2b2，a8b3.(1)求d，
11、q的值；(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有anlogabnb成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由a2b2，a8b3，得即解方程组得或(舍去)(2)由(1)知an1(n1)55n4，bnb1qn16n1.由anlogabnb，得5n4loga6n1b，即5n4nloga6bloga6.比较系数得解得a6，b1，使得对一切自然数n，都有anlogabnb成立17已知各项都为正数的等比数列an满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3an，且Sn为数列bn的前n项和，求数列的前n项和Tn.【解析
12、】(1)设等比数列的公比为q，由题意知q0，且3a12a2a3，所以解得a1q3，故an3n.(2)由(1)，得bnlog3ann，所以Sn.所以222，故数列的前n项和为Tn22n22n.18已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an2n(nN).(1)证明：an2是等比数列，并求an的通项公式(2)数列bn满足bnlog2(an2)，Tn为数列的前n项和，若Tna对正整数a都成立，求a的取值范围【解析】(1)由题设Sn2an2n(nN)，Sn12an12(n1)(n2).两式相减得an2an12，即an22(an12)，又a124，所以an2是以4为首项，2为公比的等比数列an242n1，an42n122n12(n2)，又a12，所以an2n12(nN).(2)因为bnlog2(an2)log2(2n1)n1，所以Tn，依题意得：a.