1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第3课时 利用导数研究函数的零点高考解答题专项一2023考点一确定函数零点的个数考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1.(2021山东济南高三月考)若函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)-g(x)=cos 2x+e-x-ex.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)令h(x)=f(x)+g(x),试判断函数h(x)零点的个数.解(1)因为f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以(2)由(1)得h(x)=cos 2x+ex-e-x,则h
2、(x)=-2sin 2x+ex+e-x,因为ex+e-x2(当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号),-1sin 2x1,所以h(x)0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递增,方法点拨利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.对点训练1(2021北京延庆高三模拟)已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)
3、的零点个数,并说明理由.x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.考向2.利用两个函数图像的交点确定零点个数例2.(2021湖南长沙高三期中)已知函数f(x)=axex,a为非零实数.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)讨论方程f(x)=(x+1)2的实数解的个数.解(1)f(x)=aex+axex=a(x+1)ex,由f(x)=0得x=-1.若a0时,由f(x)0得x-1,所以f(x)的单调递减区间为(-,-1);若a0时,由f(x)-1,所以f(x)的单调递减区间为(-1,+).综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(-,-1);当a0,g(x)在(-
4、,-1)上单调递增;当x(-1,0)(0,+)时,g(x)0时,原方程有且只有一个解;当ae时,h(x)-1,又因为m4,所以-1.所以当m=4时,函数h(x)的图像与射线y=-1(x1)有两个交点,当m4时,函数h(x)的图像与射线y=-(x1)有一个交点.综上,当m=4时,方程f(x)=g(x)(x1)实数根的个数为2;当m4时,方程实数根的个数为1.考点二已知函数零点个数求参数取值范围例3.(2020全国,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)
5、=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法对点训练3(2021辽宁锦州高三期中)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,aR.(1)若a0,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个不同的零点,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=xex+2ax=x(ex+2a).由于a0,令f(x)=0,解得x1=0,x2=ln(-2a).时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)0,要使f(x)有2个不同的零点,应有-a0,故实数a的取值范围为(0,+).
