1、单元质检卷三一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东师大附中高三月考)已知函数f(x)=(2x-a)ex,且f(1)=3e,则实数a的值为()A.-3B.3C.-1D.12.(2021湖北孝感高三期中)设曲线y=a(x-1)+ln x在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2,则a=()A.1B.2C.3D.43.(2021安徽蚌埠高三月考)函数f(x)=x2-2ln x在区间1,2上的最大值是()A.4-2ln 2B.1C.4+2ln 2D.e2-24.(202
2、1江苏镇江高三月考)幂函数f(x)的图像过点22,2,则函数g(x)=exf(x)的单调递增区间为()A.(0,2)B.(-,-2)(0,+)C.(-2,0)D.(-,-2)和(0,+)5.(2021湖北宜昌高三月考)曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是()A.1B.2C.5D.36.(2021江苏扬州高三模拟)已知函数f(x)=x+acos x,对于任意x1,x2R(x1x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x2a2-a恒成立,则实数a的取值范围是()A.1-2,1+2B.1-2,1C.-1,1D.-1,1-27.(2021北京昌平高三期中)已知函数f(x
3、)=(x-1)2ex,下列结论错误的是()A.函数f(x)有零点B.函数f(x)有极大值,也有极小值C.函数f(x)既无最大值,也无最小值D.函数f(x)的图像与直线y=1有3个交点8.(2021四川成都高三期中)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)1-f(x),f(0)=4,则不等式f(x)0且a1,函数f(x)=xaax(x0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.21.(12分)(2021重庆綦江中学高三月考)已知函数f(x)=aex-cos x-x(aR).(1)若a=1,证明:f(x)+cos x1;(2)
4、若f(x)在(0,)上有两个极值点,求实数a的取值范围.22.(12分)(2021湖南常德高三一模)设函数f(x)=aln x+1x+1,其中a为常数,且a0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数F(x)=f(x)+xln a,x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:F(x1)+F(x2)0得x0,所以g(x)的单调递增区间是(-,-2)和(0,+),故选D.5.C解析:因为直线2x-y+3=0的斜率为2,所以令f(x)=22x-1=2,解得x=1,把x=1代入曲线方程得f(1)=ln(2-1)=0,即曲线f(x)过点(1,0)的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2x-y+3=0的
5、距离d=|2-0+3|22+(-1)2=5,即曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是5.6.B解析:设x1x2,由f(x1)-f(x2)x1-x2a2-a可得f(x1)-f(x2)(a2-a)(x1-x2),即f(x1)-(a2-a)x1f(x2)-(a2-a)x2,构造函数g(x)=f(x)-(a2-a)x=acosx+(1-a2+a)x,则函数g(x)在R上单调递增,g(x)=-asinx+(1-a2+a)0对任意的xR恒成立,令t=sinx,则t-1,1,所以-at+(1-a2+a)0在t-1,1上恒成立,所以-a+1-a2+a0,a+1-a2+a0,即a
6、2-10,a2-2a-10,解得-1a1,1-2a1+2,所以1-2a1,故选B.7.C解析:f(1)=0,所以A选项正确;f(x)=(x+1)(x-1)ex,所以在区间(-,-1)和(1,+)上f(x)0,f(x)单调递增,在区间(-1,1)上f(x)1,当x=1时,f(x)有极小值f(1)=0,所以B选项正确,C选项错误;画出函数f(x)的大致图像如图,由图可知函数f(x)的图像与直线y=1有3个交点,所以D选项正确.故选C.8.C解析:由f(x)1+3ex得exf(x)ex+3,即exf(x)-ex-30,令F(x)=exf(x)-ex-3,则F(x)=exf(x)+exf(x)-ex=
7、exf(x)+f(x)-1,因为f(x)1-f(x),即f(x)+f(x)-10,所以F(x)0时,F(x)0,即f(x)1+3ex的解集是(0,+),故选C.9.CD解析:由y=f(x)的图像知,在(-,-2)和(2,4)上f(x)0,即f(x)单调递增,所以f(x)的极大值为f(2),极小值为f(-2)和f(4),对于选项A,f(x)在-3,-12上不单调,错误;对于选项B,f(x)有2个极小值点,错误;对于选项C,f(x)在(4,5)上单调递增,正确;对于选项D,f(x)的极大值为f(2),正确.故选CD.10.ABD解析:因为f(x)=lnx-ax,所以f(x)=1x-a.又因为函数f
8、(x)的图像在x=1处的切线方程为x+y+b=0,所以f(1)=-a=-b-1,f(1)=1-a=-1,解得a=2,b=1.所以A,B正确;由f(x)=1x-2=1-2xx,令f(x)0,得f(x)在0,12上单调递增,令f(x)0,得f(x)在12,+上单调递减,知f(x)在x=12处取得极大值,f12=ln12-1=-ln2-1,无极小值,故选ABD.11.ABDf(x)=1-lnxx2-1=1-lnx-x2x2,令(x)=1-lnx-x2,则(x)=-1x-2x0,所以(x)=1-lnx-x2在(0,+)上单调递减.因为(1)=0,所以当0x0;当x1,(x)0.所以f(x)的单调递增区
9、间为(0,1),单调递减区间为(1,+),故f(x)的极大值点为1,f(x)的极大值为f(1)=-1,故选ABD.12.BD解析:f(x)=3ax2+2bx-3,依题意1,3是f(x)=0的两个根,所以1+3=-2b3a,13=-33a,解得a=-13,b=2,故f(x)=-13x3+2x2-3x+k.易求得函数f(x)的极大值为f(3)=k和极小值为f(1)=-43+k.要使函数f(x)有两个零点,则f(x)的极大值k=0或f(x)的极小值-43+k=0,所以k=0或k=43,故选BD.13.1解析:因为y=2x-1x,所以y=2x-(2x-1)x2=1x2,当x=-1时,y|x=-1=1,
10、所以曲线y=2x-1x在点(-1,3)处的切线的斜率为1.14.(-2,0)解析:二次函数f(x)=-x2+ax的对称轴为x=-a-2,即x=a2,因为函数f(x)=-x2+ax在区间(-1,0)上恰有一个极值点,所以-1a20-2a0.故实数a的取值范围是(-2,0).15.(0,e-2)解析:令g(x)=x2ex,函数f(x)有三个零点即函数g(x)的图像与直线y=4a有三个交点.因为g(x)=2x-x2ex,所以g(x)在(-,0)和(2,+)上单调递减,在(0,2)上单调递增,且g(x)0,g(x)的极大值为g(2)=4e2=4e-2,极小值为g(0)=0.结合图像g(x)与y=4a有
11、三个交点,即04a4e-2,所以0ae-2.16.(-,-1解析:依题意方程ex-ex+a=-lnx-1x在(0,+)上有解,即a=ex-ex-lnx-1x在(0,+)上有解,令h(x)=ex-ex-lnx-1x,则h(x)=e-ex-1x+1x2=e-ex+1-xx2,显然h(1)=0,且当0x0,当x1时,h(x)0,因此h(x)在x=1处取得极大值亦即最大值h(1)=-1,所以h(x)的值域为(-,-1,故a的取值范围是(-,-1.17.解(1)当a=0时,f(x)=3-2xx2,则f(x)=2(x-3)x3,所以f(1)=1,f(1)=-4,此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切
12、线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.(2)因为f(x)=3-2xx2+a,所以f(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(x2+a)2=2(x2-3x-a)(x2+a)2,由题意可得f(-1)=2(4-a)(a+1)2=0,解得a=4,故f(x)=3-2xx2+4,f(x)=2(x+1)(x-4)(x2+4)2,列表如下:x(-,-1)-1(-1,4)4(4,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1),(4,+),单调递减区间为(-1,4).当x0;当x32时,f(x)0,a0,故a的取值范围为0,12.(
13、2)因为a=2,所以f(x)=(1-2x)(1+2x)x.令f(x)0,得12ex12;令f(x)0,得120,所以f(x)在12e,e2上的值域为1-e22,-12.19.解因为f(x)=-xex,所以f(x)=-ex(x+1),所以切线斜率k=f(0)=-1,又因为f(0)=0,因此f(x)图像在原点处的切线方程为y=-x.又因为切线y=-x与g(x)图像相切,所以y=x2+2x+a,y=-x,消去y得x2+3x+a=0,于是=9-4a=0,解得a=94.故实数a的值为94.20.解(1)当a=2时,f(x)=x22x.f(x)=2x2x-2xln2x2(2x)2=x(2-xln2)2x=
14、ln2x2ln2-x2x.当x0,2ln2时,f(x)0,f(x)单调递增,当x2ln2,+时,f(x)0,f(x)单调递减.故f(x)在区间0,2ln2上单调递增,在区间2ln2,+上单调递减.(2)由题知方程f(x)=1在(0,+)有两个不相等的根.由f(x)=1得xa=ax,即alnx=xlna,即lnxx=lnaa.令g(x)=lnxx,g(x)=1-lnxx2,g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+)上单调递减.又x0时,g(x)-,g(e)=1e,g(1)=0,x+时,g(x)0.0lnaa1且ae.21.(1)证明当a=1时,f(x)=ex-cosx-x,令g(x)=
15、f(x)+cosx=ex-x,则g(x)=ex-1,当x0时,g(x)0时,g(x)0,所以函数g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=1,即f(x)+cosx1.(2)解f(x)=aex+sinx-1,由f(x)在(0,)上有两个极值点,则f(x)=aex+sinx-1=0在(0,)上有两个不同的实根,即a=1-sinxex在(0,)上有两个不同的实根.设h(x)=1-sinxex,x(0,),h(x)=sinx-cosx-1ex=2sin(x-4)-1ex,令h(x)=0,则x=2,当0x2时,h(x)0;当2x0,所以函数h(x)在0,2上单调递减,
16、在2,上单调递增,又因为h(0)=1,h2=0,h()=e-,0e-1,所以当0ae-时,方程a=1-sinxex在(0,)上有两个不同的实数根,所以实数a的取值范围为(0,e-).22.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ax-1(x+1)2=ax2+(2a-1)x+ax(x+1)2.令g(x)=ax2+(2a-1)x+a,=(2a-1)2-4a2=-4a+1.当a14时,=-4a+10,则g(x)0,即f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增;当0a0,由g(x)=0,解得x1=1-2a-1-4a2a,x2=1-2a+1-4a2a,所以x2x1=1-2a-1-4a2a=1
17、-4a+4a2-1-4a2a0,所以当x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)单调递增,综上所述,当0a14时,f(x)在0,1-2a-1-4a2a上单调递增,在1-2a-1-4a2a,1-2a+1-4a2a上单调递减,在1-2a+1-4a2a,+上单调递增;当a14时,f(x)在(0,+)上单调递增.(2)证明由(1)知函数f(x)的两个极值点为x1,x2,则0a14,且x1+x2=1-2aa,x1x2=1.所以F(x1)+F(x2)=f(x1)+x1lna+f(x2)+x2lna=alnx1+1x1+1+alnx2+1x2+1+(x1+x2)lna=aln(x1x2)+x1+x2+2(x1+1)(x2+1)+(x1+x2)lna=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1+(x1+x2)lna=x1+x2+21+x1+x2+1+(x1+x2)lna=1+1-2aalna,记h(a)=1+1-2aalna=1+1a-2lna0a14,h(a)=-1a2lna+1a-21a=-lna+1-2aa2,因为0a0,-lna0,所以h(a)0,h(a)在0,14上单调递增,所以h(a)h14=1-4ln2,即1+1-2aalna1-4ln2,所以F(x1)+F(x2)1-4ln2.
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