1、知识梳理 典例题组 栏目索引 课标版 文数 第十三章 数系的扩充与复数的引入知识梳理 典例题组 栏目索引 知识梳理 1.复数的有关概念(1)设a与b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它是实数;当b0时,叫做虚数;当a=0且b0时,叫做纯虚数.(2)复数的相等如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且b=0.知识梳理 典例题组 栏目索引 2.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点
2、都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.知识梳理 典例题组 栏目索引 3.共轭复数的概念当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数用 表示,即z=a+bi(a,bR),则=a-bi(a,bR).4.复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.(2)复数加法的运算律复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3、(3)复数加、减法的几何意义zz知识梳理 典例题组 栏目索引(i)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线,则复数z1+z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数.(ii)复数减法的几何意义复数z1-z2是连结向量、的终点,并指向被减数的向量 所对应的复数.5.复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)复数的乘法运算法则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;1OZ2OZ1OZ2OZOZ1OZ2OZ21Z Z知识梳理 典例题组 栏目索引 交换律z1z2=z2z1;结合律(z1z2)z3=z1(z2z3);分配
4、律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).22acbdcd22bcadcd知识梳理 典例题组 栏目索引 1.下面四个命题:(1)0比-i大;(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;(3)x+yi=1+i的充要条件为x=y=1;(4)如果让实数a与ai对应,那么实数集与纯虚数集一一对应.其中正确的命题个数是()A.0 B.1 C.2 D.3知识梳理 典例题组 栏目索引 答案A(1)错,实数与虚数不能比较大小;(2)错,两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数时此两个复数不一定是共轭复数;(3)错,因为没
5、有表明x,y是否是实数;(4)错,当a=0时,没有纯虚数和它对应.故选A.知识梳理 典例题组 栏目索引 2.(1+i)20-(1-i)20的值是()A.-1 024 B.1 024 C.0 D.1 024i 答案C(1+i)20-(1-i)20=(1+i)210-(1-i)210=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.知识梳理 典例题组 栏目索引 3.已知f(n)=in-i-n(i2=-1,nN),则集合f(n)的元素个数是()A.2 B.3 C.4 D.无数个 答案Bf(0)=i0-i0=0,f(1)=i-i-1=i-=2i,f(2)=i2-i-2=0,f(3)=i3
6、-i-3=-2i,f(4)=i4-i-4=0,f(5)=i5-i-5=2i,故f(n)的周期为4,则f(n)的元素个数为3.1i知识梳理 典例题组 栏目索引 4.设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(mR),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是 .答案 解析 由题意知log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,即log2=-1,=,m=,m,m=.152233(3)mmm2233(3)mmm12152330,30,mmm321215知识梳理 典例题组 栏目索引 5.若复数z=sin 2-i(1-cos 2)是纯虚数,则=.答案k+,kZ 解析 由题意
7、知sin 2=0且1-cos 20,则2=2k+,kZ,=k+,kZ.22知识梳理 典例题组 栏目索引 复数的有关概念典例题组 典例1(1)(2014山东,1,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i(2)(2014湖南,11,5分)复数(i为虚数单位)的实部等于 .答案(1)A(2)-323ii 解析(1)a+i=2-bi,a+bi=2-i,(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.(2)=-3-i,其实部为-3,故答案为-3.23ii3i1知识梳理 典例题组 栏目索引 处理有关复数基本概
8、念的问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z=a+bi(a,bR)由它的实部与虚部唯一确定,故复数z与点Z(a,b)相对应.知识梳理 典例题组 栏目索引 1-1 设a,bR,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为 .答案8117i12i 解析 =5+3i=a+bi,a+b=8.117i12i(11 7i)(12i)(12i)(12i)25 15i5知识梳理 典例题组 栏目索引 复数的代数运算典例2(1)(2014辽宁,2,5分)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3i B.2-3iC.3+2i D.3-2i(2)(201
9、4课标,3,5分)设z=+i,则|z|=()A.B.C.D.2 答案(1)A(2)B11 i122232 解析(1)(z-2i)(2-i)=5,z=+2i=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.故选A.(2)z=+i=+i=+i,因此|z|=,故选B.52i5(2i)(2i)(2i)105i511 i1 i212122211221222知识梳理 典例题组 栏目索引 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论,可提高运算速度.(1)(1i)2=2i;(2)=i;(3)=-i;(4)=b-ai;(5)i4
10、n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN).1 i1 i1 i1 iiiab知识梳理 典例题组 栏目索引 2-1(1)复数(1+i)=()A.-2 B.2 C.-2i D.2i(2)已知i为虚数单位,复数z=,则|z|+=()A.i B.1-i C.1+i D.-i 答案(1)D(2)B11i2i12i1z 解析(1)因为(1+i)=(1+i)(1+i)=(1+i)2=2i,所以选D.(2)由已知得z=i,|z|+=|i|+=1-i,选B.11i2i12i22ii12ii(12i)12i1z1i知识梳理 典例题组 栏目索引 复数的几何意义典例3(2014重庆,1,5分)
11、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 答案B 解析 实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限.知识梳理 典例题组 栏目索引 1.复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的.2.|z|表示z对应的点与原点的距离,|z-z1|表示z对应的点与z1对应的点间的距离.知识梳理 典例题组 栏目索引 3-1(1)若复数(i为虚数单位,aR)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)已知复数z1=-1+
12、2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=+(,R),则+的值是 .答案(1)B(2)122i1ia OCOAOB知识梳理 典例题组 栏目索引 解析(1)依题意得,=(a+1)+(1-a)i是纯虚数,于是有a+1=0,得a=-1,2a+2i=-2+2i,故其对应的点的坐标是(-2,2),因此复数2a+2i在复平面内对应的点在第二象限,选B.(2)由条件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=+得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),解得+=1.22i1ia 2(i)(1 i)(1 i)(1 i)a OCOAOBOCOAOB3,24,1,2.
