1、2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，712每题5分，共54分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，5，Bx|2x60，则AB 2（4分）计算： 3（4分）已知复数z1+i（其中i是虚数单位），则z2+z 4（4分）关于x，y的方程组的增广矩阵为 5（4分）二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是 （用数字作答）6（4分）若抛物线y24x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 7（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 8（5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京
2、张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 种9（5分）已知函数f（x）sinx+cosx（0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，则的最小值为 10（5分）已知a0，b0，且+，则2a+b的最小值为 11（5分）已知等差数列an的首项a12，且对任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，则a1+a2+a3+a4+a5的最小值为 12（5分）已知函数f（x），若对任意的x12，+），都存在x22，1，使得f（x1）f（x2）a，则实数a的取值范围为 二.选择题（本大题共4题，每题5分
3、，共20分）13（5分）已知角的终边经过点P（3，4），将角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则tan等于（）ABCD14（5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）A高一学生26人、高三学生23人B高一学生28人、高三学生21人C高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D高一、高三学生人数都不限15（5分）如图，已知点A平面，点O，直线a，点P且PO，则“直线a直线OA”是“直线a直线PA”的（）A充分不必要条件B必要
4、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为2，当i1，1（i1，2，3，4，5）时，|1+2+3+4+5|的最大值为（）A6B12C18D三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18分）17（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBCBB12，ABBC，D为AB的中点（1）求异面直线BC1与DC所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求证：BC1平面A1CD18（14分）在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinCbsinBa（sinAsinB）（1）求角C的值；（2）若c3，求ABC周长的最大值19（
5、14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出20152020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）年份传统能源发电新能源发电总装机容量火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电201510.063.200.270.431.3115.27201610.603.320.340.761.4716.49201711.103.440.361.301.6417.84201811.443.530.451.741.8419.00201911.903.560.492.102.0520.1
6、0202012.453.700.502.532.8222.00请根据如表提供的数据，解决课题小组的两个问题：（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？20（16分）已知双曲线：1（a0，b0）的焦距为2，渐近线方程为yx（1）求双曲线的方程；（2）若对任意的mR，直线ykx+m与双曲线总
7、有公共点，求实数k的取值范围；（3）若过点（1，0）的直线l与双曲线交于M、N两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由21（18分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k和A，对任意的xR，都有|f（x）kx|A成立，则称函数f（x）为“拟线性函数”，其中数组（k，A）称为函数f（x）的拟合系数（1）数组（2，1）是否是函数g（x）的拟合系数？（2）判断函数s（x）xsinx是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h（x）在区间0，p（p0）上单调递增，且h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称（其中p，q为常数），证明：
8、h（x）是“拟线性函数”2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，712每题5分，共54分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，5，Bx|2x60，则AB1，2【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解【解答】解：A1，2，3，4，5，Bx|2x60x|x3，则AB1，2故答案为：1，22（4分）计算：1【分析】，可求【解答】解：1故答案为：13（4分）已知复数z1+i（其中i是虚数单位），则z2+z1+3i【分析】把复数z1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解【解答】解：由z1+i
9、，得z2+z（1+i）2+（1+i）1+2i+i2+1+i1+3i故答案为：1+3i4（4分）关于x，y的方程组的增广矩阵为 【分析】直接由增广矩阵的定义得答案【解答】解：由增广矩阵的定义可知，关于x，y的方程组的增广矩阵为，故答案为：5（4分）二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是 10（用数字作答）【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 Tr+1 x102r xrx103r令 103r4，可得 r2，展开式中含x4的项的系数是 10，故答案为106（4分）若
10、抛物线y24x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 5【分析】由题意得到点P的横坐标，从而求出点P到抛物线准线的距离，由抛物线的定义求解即可【解答】解：因为抛物线y24x上一点P到y轴的距离是4，则点P的横坐标为4，又抛物线的准线为x1，所以点P到抛物线准线的距离为4+15，由抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5故答案为：57（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，因为圆锥的轴截面
11、是边长为2的等边三角形，所以r1，l2，h，则这个圆锥的体积为故答案为：8（5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 840种【分析】显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解【解答】解：由已知得：不同的选派方案共有840（种）故答案为：8409（5分）已知函数f（x）sinx+cosx（0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，则的最小值为 【分析】由已知条件可得， 是函数f（x）的最大值，再结合正弦函数的性
12、质，即可求解【解答】解：f（x）sinx+cosx，f（x）f（）对任意的实数x都成立， 是函数f（x）的最大值，kZ，0，的最小值为故答案为：10（5分）已知a0，b0，且+，则2a+b的最小值为 8【分析】2a+b2a+4+b4（2a+4+b）（）4，展开后利用基本不等式即可求解【解答】解：因为a0，b0，且+，则2a+b2a+4+b4（2a+4+b）（）4（4+）448，当且仅当且+，即a1，b6时取等号，此时2a+b取得最小值8故答案为：811（5分）已知等差数列an的首项a12，且对任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，则a1+a2+a3+a4+a5的最小值为
13、10【分析】由条件可令m1，n5，得aka1+a5，进一步代入化简可得d，分析k的取值范围，可得d的最小值，而a1+a2+a3+a4+a510+10d，故d最小时，S5最小【解答】解：对任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，所以令m1，n5，则aka1+a5，又aka1+（k1）d2+（k1）d，a1+a52+2+4d4+4d，所以2+（k1）d4+4d，所以（k5）d2，显然k5，所以d，当1k4时，d单调递减，所以当k4时，dmin2，当k6时，d0，所以dmin2，因为a1+a2+a3+a4+a510+10d，所以当d最小时，a1+a2+a3+a4+a5有最小值10
14、2010，故答案为：1012（5分）已知函数f（x），若对任意的x12，+），都存在x22，1，使得f（x1）f（x2）a，则实数a的取值范围为 （，【分析】由函数解析式，再对a进行分类讨论，即可得到a的范围【解答】解：当x0时，x22，1时，f（x2）2，7，当a0时，如图所示，f（x）|xa|，x0，当x12，+）时，f（x）minf（2）0，此时f（x1）f（x2）0a，满足题意，当0a2时，如图所示，f（x）|xa|，x0，当x12，+）时，f（x）minf（2）|2a|0，要使f（x1）f（x2）a恒成立，只需f（x1）minf（x2）mina即|2a|2a，即42aa，解得a，当a
15、2时，当x12，+）时，f（x1）minf（a）0，f（x1）f（x2）的最小值可以取0，而0a，不满足f（x1）f（x2）a恒成立，综上，a的取值范围为（，故答案为：（，二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）已知角的终边经过点P（3，4），将角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则tan等于（）ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果【解答】解：角的终边经过点P（3，4），所以tan，cot将角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，所以tan故选：B14（5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的
16、学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）A高一学生26人、高三学生23人B高一学生28人、高三学生21人C高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D高一、高三学生人数都不限【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解【解答】解：高二学生360人，抽取人数为24人，3602415，高一学生抽取人数为3901526人，高三学生抽取人数为3451523人故选：A15（5分）如图，已知点A平面，点O，直线a，点P且PO，则“直线a直线OA”是“直线a直线PA”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
17、要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用直线与平面垂直的判断定理，推出结果，即可判断选项【解答】解：已知点A平面，点O，直线a，点P且PO，直线a直线OA，POOAO，可知直线a平面POA，PO平面POA，所以直线a直线PA；直线a直线PA，PAOAA，可知直线a平面POA，OA平面POA，所以直线a直线OA，所以“直线a直线OA”是“直线a直线PA”的充要条件故选：C16（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为2，当i1，1（i1，2，3，4，5）时，|1+2+3+4+5|的最大值为（）A6B12C18D【分析】建立平面直角坐标系，由坐标法表示出|1+2+3+4+5|，并利用列举法求得最大值
18、【解答】解：以A为原点，AD为x轴建立如图所示平面直角坐标系，正六边形的边长为2，所以：B（1，），F（1，），C（3，），E（3，），D（4，0），|1+2+3+4+5|1（1，）+|2（3，）+3（4，0）+4（3，）+5（1，）|令t312+21315+235+623+634+324+345，下用例举法求得t的所有可能取值12345 t 1 1 1 1 1 24 1 1 1 11 16 1 1 11 1 0 1 11 1 18 11 1 1 1 01 1 1 1 1 2211 1 1 121 11 1 121 111 121 11 11 10 111 1 1811 11 112 11 1
19、 118 1 111 18 1 11 118 1 1 111 4111 1121111 11411 1 1 1141 111121 11 1 161 1 1112 11111 4 111 1 18 11 1118 1 1111 411111 10111 1 1611 111141 1111 611111 161111118由表格数据可知t的最大值为24，所以|1+2+3+4+5|的最大值为12，故选：B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18分）17（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBCBB12，ABBC，D为AB的中点（1）求异面直线BC1与DC所成角的
20、大小（用反三角函数表示）；（2）求证：BC1平面A1CD【分析】（1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可；（2）根据线面平行的判定定理即可证明BC1平面A1CD【解答】解：（1）连结AC1，交A1C于点O，连结OD，因为D是AB的中点，所以BC1OD，易知CDO即为异面直线BC1与DC所成角，因为ABBCBB12，ABBC，D为AB的中点，CD，ODBC1，又因为该三棱柱是直三棱柱，A1C2，OCA1C，在ODC中，cosCDO，CDOarccos；（2）证明：连结AC1，交A1C于点O，连结OD，因为D是AB的中点，所以BC1OD，因为BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以BC1平面A
21、1CD18（14分）在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinCbsinBa（sinAsinB）（1）求角C的值；（2）若c3，求ABC周长的最大值【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C的值；（2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值【解答】解：（1）已知csinCbsinBa（sinAsinB），利用正弦定理：c2b2a2ab，整理得，由于C（0，），故C；（2）由于c3，C，利用余弦定理：c2a2+b22abcosC，所以9（a+b）23ab，利用基本不等式的应用：，整理得：（a+b）236，（当且仅当ab3时，等号成立）所以3a+b6，故
22、三角形的周长的最大值为3+6919（14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出20152020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）年份传统能源发电新能源发电总装机容量火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电201510.063.200.270.431.3115.27201610.603.320.340.761.4716.49201711.103.440.361.301.6417.84201811.443.530.451.741.8419.00201911.903.
23、560.492.102.0520.10202012.453.700.502.532.8222.00请根据如表提供的数据，解决课题小组的两个问题：（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？【分析】（1）由题意直接求20152020年平均每年增加的容量即可，再设出平均增长率，列出指数形的方程
24、，再求解即可；（2）设n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，列出不等式0.6，代入n7与n8时，验证即可【解答】解：（1）由表可知，我国2015年发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年发电总装机容量为22.00万万千瓦，则20152020年平均每年增加1.35万万千瓦，且2015年新能源装机容量为（0.43+1.31）1.74万万千瓦，2020年新能源装机容量为（2.53+2.82）5.35万万千瓦，设年平均增长率为x，1.74（1+x）55.35，（1+x）53.075，解得x0.252，故同期新能源发电装机容量年平均增长率为0.252，（2）由（1）可知，我国
25、2021年发电总装机容量为：22.00+1.3523.35万万千瓦，新能源发电装机容量为：5.35+0.76.05万万千瓦，设n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，0.6，其中当n7时，0.5800.6，当n8时，0.6610.6，n8，2021+82029即2029年我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%20（16分）已知双曲线：1（a0，b0）的焦距为2，渐近线方程为yx（1）求双曲线的方程；（2）若对任意的mR，直线ykx+m与双曲线总有公共点，求实数k的取值范围；（3）若过点（1，0）的直线l与双曲线交于M、N两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常
26、数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用焦距以及渐近线方程，结合c2a2+b2，求出a，b的值，即可得到答案；（2）当k时不合题意，当k0时，将直线与双曲线联立方程，则16k2m24（12k2）（2m22）0对于任意的m恒成立，求解即可；（3）设存在点P（a，0），设直线l的方程与双曲线方程联立，得到韦达定理，利用向量的坐标运算表示出，分析求解即可【解答】解：（1）因为2c，所以c，又渐近线方程为yx，则，又c2a2+b2，解得a22，b21，所以双曲线的方程为；（2）当k0时，ym对于任意的实数m与双曲线不是总有公共点，不符合题意；当k0时，直线ykx+
27、m与双曲线方程联立，可得（12k2）x24kmx2m220，则16k2m24（12k2）（2m22）0对于任意的m恒成立，即2k2（m2+1）min，所以2k21，解得，故实数k的取值范围为；（3）设存在点P（a，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以，设直线l的方程为yk（x1），将直线l的方程与双曲线的方程联立，可得（12k2）x2+4k2x2k220，所以，故k2x1x2（x1+x2）+1，故，若为常数，则，解得，故存在点，使得为常数21（18分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k和A，对任意的xR，都有|f（x）kx|A成立，则称函数f（x）为“拟线性函数”，其中
28、数组（k，A）称为函数f（x）的拟合系数（1）数组（2，1）是否是函数g（x）的拟合系数？（2）判断函数s（x）xsinx是否是“拟线性函数”，并说明理由；（3）若奇函数h（x）在区间0，p（p0）上单调递增，且h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称（其中p，q为常数），证明：h（x）是“拟线性函数”【分析】（1）根据所给新定义推出|g（x）2x|1即可得出结论；（2）根据新定义，利用特例法可知不存在（k，A）使|s（x）kx|A成立，即可得出结论；（3）根据所给函数的性质可构造函数H（x）h（x），利用周期定义可得H（x）为周期函数，先证明H（x）在xp，p时，|H（x）|q，再利用周期证
29、明对一切xR，都有|H（x）|q即可得证【解答】解：（1）因为g（x）2x，所以当x0时，g（x）2x0，当x0时，g（x）2x，因为或，所以|g（x）2x|1，所以数组（2，1）是函数g（x）的拟合系数；（2）当x（nN*）时，|s（x）kx|A对于nN*恒成立，所以k1成立，当x（nN*）时，|s（x）kx|2nk|A恒成立，所以k0成立，由可知，k不能同时满足，所以函数s（x）xsinx不是“拟线性函数”；（3）h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称，h（p+x）+h（px）2q，令x0，得：h（p）q，由于h（x）在区间0，p（p0）上单调递增，h（p）h（0），q0，又h（x）为奇
30、函数，h（0）0，x0，p时，h（x）0，q，记H（x）h（x），下面证明对一切xR，都有|H（x）|q，h（x）为奇函数，h（x）h（x），h（p+x）+h（px）h（x+p）h（xp）2q，即h（x+2p）h（x）+2q，由于H（x+2p）h（x+2p）（x+2p）h（x）+2qx2qh（x）H（x），H（x）是周期函数，且一个周期为T2p，因为当x0，p时，0，q，又因此时0h（x）q，当x0，p时，H（x）h（x）q，q，|H（x）|q，由于yh（x），y均为奇函数，H（x）也为奇函数，当xp，0时，x0，p，|H（x）|H（x）|q也成立，综合得：当xp，p时，|H（x）|q，当x（2n1）p，（2n+1）p（nZ）时，x2npp，p，|H（x）|H（x2np）|q，因此，对一切xR，都有|H（x）|q，即|h（x）|q恒成立，所以h（x）是“拟线性函数”
