1、3.3幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)答案A2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+)上是增函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=x12答案C3.下列结论中,正确的是()A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数取1,3,12时,幂函数y=x都是增函数D.当幂指数=-1时,幂函数y=x在其整个定义域上是减函数答案C4.已知当x(1,+)时,函数y=x的图象恒在直线y=x的下方,则的取值范围是()A.0
2、1B.0C.1解析由幂函数的图象特征知1.答案C5.已知a=1.212,b=0.9-12,c=1.1,则()A.cbaB.cabC.bacD.ac0,且1.21091.1,1.212109121.112,即abc.答案A6.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则()A.-1n0m1B.n-1,0m1C.-1n1D.n1解析由于y=xm在(0,+)上单调递增,且为上凸函数,故0m1.由于y=xn在(0,+)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,故n-1.故选B.答案B7.若(a+1)13(3-2a)13,则a的取值范围是.解析因为函数f(x)=
3、x13的定义域为R,且为单调递增函数,所以由不等式可得a+13-2a,解得a0,若a,bR,且a+b0,ab0,函数是单调增函数,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b0,ab0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.答案A3.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则()A.cbaB.cabC.bcaD.abc解析幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),则m=1,(2)n=22m=1,n=3,所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)为单调递增函数.又ln 213,所以
4、f(ln 2)f(1)f(3),即caf(x1)+f(x2)2(x2x10)的函数的个数是()A.1B.2C.3D.4解析如图,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有满足,其他四个都不满足,故选A.答案A5.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm2-2m+1在区间(0,+)上是增函数,则实数m=.解析由f(x)=(m2-3m+3)xm2-2m+1是幂函数,得m2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f(x)=x是增函数;当m=1时,f(x)=1是常函数.答案26.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)
5、当x(1,2时,记(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若AB=A,求实数k的取值范围.解(1)依题意得(m-1)2=1.m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,与题设矛盾,舍去.m=0.(2)由(1)可知f(x)=x2,当x(1,2时,函数f(x)和g(x)均单调递增.集合A=(1,4,B=(2-k,4-k.AB=A,BA.2-k1,4-k4.0k1.实数k的取值范围是0,1.7.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),kZ,且f(x)在(0,+)上单调递增.(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间2
6、a,a+1上不单调,求实数a的取值范围.(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为-4,178,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知(2-k)(1+k)0,解得-1k2.又kZ,k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3.要使函数在区间2a,a+1上不单调,则2a1a+1,则0a12.(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q符合题意,则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x=2q-12q=1-12q1,因而,函数g(x)在-1,2上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,又g(2)=-1-4,从而必有g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g(x)=-2x2+3x+1,其对称轴x=34-1,2,g(x)在-1,2上的最大值为g34=-2342+334+1=178,符合题意.存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为-4,178.
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