1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第3节 三角函数的图象与性质 第三章 三角函数、解三角形考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在上的性质1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及
2、最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中
3、 kZ)函数ysin xycos xytan x图象考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关定义域RR xxR且x k2，kZ值域 1,1 1,1 R周期性2 2 考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关奇偶性 奇函数 偶函数奇函数递增区间2k2，2k22k，2k k2，k2递减区间2k2，2k32 2k，2k 无考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关对称中心(k，0)k2，0 k2，0对称轴方程xk2 xk 无考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关 若 f(x)Asin(x)为偶函数，则 2k(kZ)；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则 k(kZ)考点层级突破第三章基础自主夯
4、实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 ysin x 的图象介于直线 y1 与 y1 之间()(2)将余弦曲线向右平移2个单位就得到正弦曲线()(3)函数 ysin2x32 是奇函数()(4)函数 ysin x 的对称轴方程为 x2k2(kZ)()(5)正切函数在整个定义域内是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1(2017全国卷)函数 f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2 C D.2解析：C 函数 f(x)sin 2x3 的最小正周期为 T22.考点层级突破第
5、三章基础自主夯实课时分组冲关2(2019全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：A 函数 ycos 2x 的周期为，函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当4x2时，22x，ycos 2x 递减且为负值，函数 f(x)|cos 2x|在区间4，2 上单调递增考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关3已知函数 f(x)sinx3(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线 x3对称 B关于点3，0 对称C关于直线 x6对称D关于点6，0 对称解析：B f(x)s
6、inx3(0)的最小正周期为，2，即 f(x)sin2x3.经验证可知 f3 sin23 3 sin 0，即3，0 是函数 f(x)的一个对称点考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关4函数 ytan 2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是 _.解析：由 2x4k(kZ)得，xk2 8(kZ)函数 ytan2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是k2 8，0.答案：k2 8，0(kZ)考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关5人教 A 版教材 P46A 组 T2 改编y3sin2x6 在区间0，2上的值域是 _.解析：当 x0，2 时，2x66，56，sin2x6 12，1，故 3sin2x6
7、32，3，即 y3sin2x6 的值域为32，3.答案：32，3考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关考点一 三角函数的定义域、值域问题(自主练透)命题角度 1 三角函数的定义域问题(1)函数 y sin xcos x的定义域为 _.(2)函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关(1)解析：法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以函数 y
8、 sin xcos x的定义域为x|2k4x2k54，kZ考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关法二(利用三角函数线)：画出满足条件 sin xcos x 的角 x 的终边范围(如图阴影部分所示)，函数 y sin xcos x的定义域为x|2k4x2k54，kZ考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关法三(利用整体思想)：sin xcos x 2sinx4 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx42k，kZ，解得 2k4x2k54，kZ.所以函数 ysin xcos x的定义域为x|2k4x2k54，kZ考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关(
9、2)由sin 2x0，9x20，得2k2x2k，kZ，3x3.3x2，或 0 x2.函 数y lg(sin 2x)9x2 的 定 义 域 为x3x2，或0 x2.答案：(1)x|2k4x2k54，kZ(2)x3x2，或0 x2考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 三角函数的值域(最值)问题(1)(2019全国卷)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_(2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_考点层级突破第三章
10、基础自主夯实课时分组冲关解析：(1)f(x)sin2x32 3cos xcos 2x3cos x，f(x)min4.(2)设 tsin xcos x，则 sin xcos xt212(2t 2)，yt12t21212(t1)21.当 t 2时，y 取最大值 212；当 t1 时，y 取最小值1.函数的值域为1，12 2.答案：(1)4(2)1，12 2考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关1求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin
11、(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关考点二 三角函数的单调性(师生共研)典例(1)ysin3 2x 的单调递减区间为 _.解析 ysin2x3 的减区间是ysin2x3 的增区间由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所给函数的减区间为k 12，k512，kZ.答案 k 1
12、2，k512，kZ考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关(2)若 f(x)2sin x1(0)在区间2，23 上是增函数，则 的取值范围是 _.逻辑推理三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关信息提取信息解读逻辑推理已知 f(x)2sin x1(0)在区间2，23上是增函数解读一：2，23 是函数 f(x)单调递增区间的子区间解读二：x 的取值范围是2，2 的子区间解读三：原点到区间2，23两端点的距离不超过T4推理一：由函数ysin x 在区间2k2，2k2上单调递增，求得 f(x)2sin x1(0)的单调递增区间考点层级突破第三章基础自主夯
13、实课时分组冲关求参数 的取值范围建立关于 的不等式组推理二：由不等式的基本性质求出 x 的取值范围推理三：由正弦函数 ysin x的图形与性质知原点到区间2，2 两端点的距离等于T4考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关解析 方法一：第一步，求出 f(x)2sin x1(0)的单调递增区间由 2k2x2k2，kZ，得 f(x)的增区间是2k 2，2k 2，kZ.第二步，转化为集合之间的关系，即2，23 是函数 f(x)单调递增区间的子区间f(x)在2，23 上是增函数，2，23 2，2.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关第三步，利用数轴，列出关于 的不等式组，解不等式组得 的取值范
14、围2 2且23 2，0，34.方法二：第一步，由 x 的取值范围求出 x(0)的取值区间x2，23，0.x2，23，第二步，由 f(x)在区间2，23 上是增函数得 x(0)的取值区间是2，2 的子区间又 f(x)在区间2，23 上是增函数，2，232，2，考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关第三步，利用数轴，列出关于 的不等式组，解不等式组得 的取值范围则 2 2，23 2，又 0，得 034.方法三：第一步，由 f(x)在区间2，23 上是增函数得原点到区间2，23 端点的距离不超过T4.f(x)在区间2，23 上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过T4，考点层级突破第三章基础自主
15、夯实课时分组冲关第二步，列出关于 的不等式组，解不等式组得 的取值范围所以2T4，23 T4，得 T83，即2 83.又 0，得 034.答案 0，34考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关互动探究在本例(1)中函数不变，求函数在，0上的单调递减区间解析：法一：xR 时，ysin32x 的减区间为k 12，k512，kZ.令 k0 得 12x512；令 k1 得1312 x712，故 x，0时，ysin32x 的减区间为，712，12，0.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关法二：因为x0，所以732x33，结合正弦曲线，由732x332，解得x 712；由22x33，解得 12x0
16、，所以单调减区间为，712，12，0.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间 提醒：求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练1函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.
17、k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k 12，k512(kZ)考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关解析：B 由 k22x3k2(kZ)得，k2 12xk2 512(k Z)，所 以 函 数 f(x)tan 2x3 的 单 调 递 增 区 间 为k2 12，k2 512(kZ)，故选 B.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关2(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则a 的最大值是()A.4 B.2 C.34 D解析：A 因为 f(x)cos xsin x 2 cos x4，所以由2kx42k(
18、kZ)得42kx34 2k(kZ)，因此，a，a4，34，aa，a4，a34，0a4从而 a 的最大值为4，选 A.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)命题角度 1 三角函数的周期性 1(2017山东卷)函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为()A.2 B.23 C D2解析：C 由题意 y2sin2x6，其周期 T22.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关2若函数 f(x)2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为 _.解析：由题意知，1k2，即 k2k.又 kN，所以 k2 或 k3.答
19、案：2 或 3考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|；(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2018全国卷)已知函数 f(x)2cos2 xsin2 x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为 3Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析：B f(x)2cos2x(
20、1cos2x)23cos2x132cos 2x52，最小正周期为，最大值为 4.故选 B.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 三角函数的对称轴或对称中心 3当 x4时，函数 f(x)sin(x)取得最小值，则函数 yf34 x()A是奇函数且图象关于点2，0 对称B是偶函数且图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线 x2对称D是偶函数且图象关于直线 x 对称考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关解析：C 当 x4时，函数 f(x)取得最小值，sin4 1，2k34(kZ)f(x)sinx2k34 sinx34.yf34 x sin(x)sin x.yf34 x 是
21、奇函数，且图象关于直线 x2对称考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关方法点拨 若求 f(x)Asin(x)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x；若求 f(x)Asin(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练设函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)(|2)，且其图象关于直线 x0 对称，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为减函数Cyf(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为增函数Dyf(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为减函数考点层级突破第三章
22、基础自主夯实课时分组冲关解 析：B 函 数 f(x)3 sin(2x )cos(2x )2sin2x6 的图象关于直线 x0 对称，函数 f(x)为偶函数，62k(kZ)|2，3，f(x)2cos 2x，T22.0 x2，02x，函数 f(x)在0，2 上为减函数故选 B.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 3 三角函数奇偶性、对称性的应用 4(2019拉萨市一模)使函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)是偶函数，且在0，4 上是减函数的 的一个值是()A.6B.3 C.23 D.56考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关解析：B 函数 f(x)3sin(2x)cos
23、(2x)2sin 2x6 是偶函数，6k2，即 k3，kZ，因此可取 3，此时，f(x)2sin 2x2 cos 2x，且在0，4 上，即 2x0，2时，f(x)是减函数故选 B.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关5(2019雅安市模拟)函数 f(x)3sin 2x3 的图象在区间0，2 上的对称轴方程为 _.解析：对于函数 f(x)3sin 2x3 的图象，令 2x3k2，得 xk2 12，kZ，令 k0，可得函数在区间0，2 上的对称轴方程为 x 12.答案：x 12考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关函数 f(x)Asin(x)的奇偶性、对称性的应用(1)若 f(x)Asi
24、n(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.(2)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2019全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间2，单调递增f(x)在，有 4 个零点 f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()ABCD考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关解析：C f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|，f(x)是偶函数，对；f(x)在区间2，上单调递减，错；f(x)在，上有 3 个零点，错；f(x)的最大值为 2，对故选 C.考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第三章基础自主夯实课时分组冲关