1、上海市松江区2020届高三数学4月在线质量评估试题（含解析）一.本试卷共21题，第115题每题6分，第1621题每题10分，满分150分1.若复数z=，则|z|=（ ）A. 1B. C. 5D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数求模可得结果【详解】|z|=，故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题2.已知向量若，则实数( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量，利用数量积公式由求解.【详解】向量，解得实数.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.已知，若，则实数a的取值范围是
2、( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，得到求解.【详解】，.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为( )A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆过点和点，得到，联立求解.【详解】因为椭圆过点和点所以，且，可得：，所以，所以焦距，故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知实数，且，则行列式的( )A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是【答案】B【解析】【分析】根据，再由，利用基本不等式求解.【
3、详解】实数，且，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是.故选：B.【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.“”是“直线和直线平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线和直线平行，则，再用集合法判断.【详解】由直线和直线平行则，解得.经过验证，都满足条件.“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在直三棱柱中，己知，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
4、解析】【分析】由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，面，又，解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是( )A. 1B. 2C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】根据样本的平均数是2，求得a，再代入标准差公式求解.【详解】因为数据a，1，2，3，4平均数是：所以，解得；所以该组数据的方差是：，标准差是.故选：D
5、.【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】A：利用幂函数的性质判断；B：利用一次函数的性质判断；C：利用二次函数的性质判断；D：利用奇偶性定义判断.【详解】A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为，所以函数为偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10.给出以下四个命题：依次首尾相接的四条线
6、段必共面；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】用空间四边形对进行判断；根据公理2对进行判断；根据空间角的定义对进行判断；根据空间直线位置关系对进行判断.【详解】中，空间四边形的四条线段不共面，故错误.中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确.中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误.中，空间中，垂直于同一直线的两条直
7、线可相交，可平行，可异面，故错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.11.已知，在这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，将计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为，这7个数分别：.4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：.故选：B.【点睛】本题主要考
8、查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12.下列命题中是假命题的是( )A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减【答案】A【解析】【分析】A：取判断. B：根据函数的值域为R判断.C：取判断.D：根据判断.【详解】A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题.B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题.C：当时，使得，故该命题为真命题.D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，故该命题为真命题.故选：A.【点睛】本题主要考查
9、命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.13.函数的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域，再利用奇偶性排除部分选项，再根据时，则确定.【详解】根据题意，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，则，排除B，D；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，则两山顶A、C之间的距离为( )A. B. C. D. 【答案】C
10、【解析】【分析】根据题意可得，利用正切函数的定义求得，；在中，利用余弦定理求得，然后利用勾股定理求解.【详解】，；在中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为.故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，设数列的前n项和为，则( )A. 0B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用数列的通项与前n项和的关系，由求得再由，用裂项相消法求和.【详解】依题意，由，可得：，两式相减，可得：，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.，则，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和
11、的关系，等差数列的定义以及裂项相消法数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在ABC中，已知AB=3，AC=5，ABC的外接圆圆心为O，则（ ）A. 4B. 8C. 10D. 16【答案】B【解析】【分析】画出图形，并将和中点，和中点连接，从而得到，根据数量积的计算公式以及条件即可得出，从而，从而可得到的值.【详解】如图，取中点，中点，并连接，则，.故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题.17.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对称轴方程为.得到在上有5条对称轴，将原
12、式变形，利用零点关于对称轴对称求解.【详解】令得，即的对称轴方程为.的最小正周期为，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；关于对称，关于对称关于对称，将以上各式相加得：.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得.类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值为( )A. 2B. 0C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】用类比推理得到，再用待定系数法得到，再根据求解.【详解】，由对应系数相等得：，.故选：A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数
13、法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.19.已知函数关于点对称，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，其图象关于对称，再由关于点对称，可得，再将对任意的，恒成立，转化为，在恒成立，令，求的最大值即可.【详解】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即，在恒成立，所以，在恒成立，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k取值范围是，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.已知点
14、在抛物线上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( )A. B. 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】根据点在抛物线上，得到抛物线方程：，根据，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立消去x得：， 然后由，将韦达定理代入求解.【详解】由点在抛物线上，可得，抛物线方程为：，由已知得，设点，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，因为点A，B在抛物线C上，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称
15、是的子数列.已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中，是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个【答案】C【解析】【分析】根据数列每一项都是数列中的项，其中，设（），公比，则（）对任意的都成立，得到m是正奇数，又S存在，则，然后根据，结合对m进行讨论分析.【详解】设（），公比，则（）对任意的都成立，故m是正奇数，又S存在，所以.时，此时，即，成立.当时，此时，不是数列中的项，故不成立.时，此时，成立.当时，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C.【点睛】本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用，还考查了特殊与的思想和推理论证的能力，属于中档题.